- 相关点法求轨迹方程
- 共18题
已知函数,(
)。
(1)若曲线在点
处的切线平行于
轴,求
的值;
(2)当时,若对
,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设,在(1)的条件下,证明当
时,对任意两个不相等的正数
,有。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵,由曲线
在点
处的切线平行于
轴得
,∴
(2)解法一:令,则
,
当时,
,函数
在
上是增函数,有
,-
当时,∵函数
在
上递增,在
上递减,
对,
恒成立,只需
,即
当时,函数
在
上递减,对
,
恒成立,只需
,
而,不合题意,
综上得对,
恒成立,
解法二:由且
可得
--
由于表示两点
的连线斜率,
由图象可知在
单调递减,
故当时,
即
(3)证法一:由
得
-
由得
-------①
又
∴ ------------②--
∵ ∴
∵ ∴
-------------③
由①、②、③得
即,-
【证法二:由
∵是两个不相等的正数,
∴ ∴
∴,又
∴,即
,-
知识点
已知动圆与圆
相切,且与圆
相内切,记圆心
的轨迹为曲线
;设
为曲线
上的一个不在
轴上的动点,
为坐标原点,过点
作
的平行线交曲线
于
两个不同的点。
(1)求曲线的方程;
(2)试探究和
的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请说明理由;
(3)记的面积为
,求
的最大值。
正确答案
见解析。
解析
(1)设圆心的坐标为
,半径为
由于动圆与圆
相切,且与圆
相内切,所以动
圆与圆
只能内切
………………………………………2分
圆心
的轨迹为以
为焦点的椭圆,其中
,
故圆心的轨迹
:
…………………………………………………………4分
(2)设,直线
,则直线
由可得:
,
……………………………6分
由可得:
………………………………8分
和
的比值为一个常数,这个常数为
……………………………………9分
(3),
的面积
的面积
到直线
的距离
…………………………11分
令,则
(当且仅当
,即
,亦即
时取等号)
当
时,
取最大值
……………………………………………………14分
知识点
已知双曲线的离心率为
,顶点与椭圆
的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_____;渐近线方程为_________.
正确答案
解析
略
知识点
平面内与两定点A1(-a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。
(1)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;
(2)当m=-1时,对应的曲线为C1;对给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C2,设F1、F2是C2的两个焦点,试问:在C1上,是否存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a2,若存在,求tan∠F1NF2的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
知识点
19,已知曲线C的方程为:为常数)。
(1)判断曲线C的形状;
(2)设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B(A、B不同于原点O),试判断△AOB的面积S是否为定值?并证明你的判断;
(3)设直线与曲线C交于不同的两点M、N,且
,求曲线C的方程。
正确答案
见解析。
解析
(1) 将曲线C的方程化为-
可知曲线C是以点为圆心,以
为半径的圆,
(2)△AOB的面积S为定值,
证明如下:
在曲线C的方程中令y=0得,得点
在曲线C的方程中令x=0得,得点
,
∴(为定值),
(3)∵圆C过坐标原点,且
∴圆心在MN的垂直平分线上,∴
,
,
当时,圆心坐标为
,圆的半径为
,
圆心到直线的距离
,
直线与圆C相离,不合题意舍去,-
∴,这时曲线C的方程为
,
知识点
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