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题型:填空题
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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中,生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设球的半径为R,则

∵棱锥的高为4,底面边长为2,

∴R2=(4﹣R)2+(2

∴R=

∴球的表面积为4π•(2=

故选:A。

知识点

排列数公式的推导
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

是纯虚数,其中i是虚数单位,则

正确答案

解析

知识点

排列数公式的推导
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形。

(1)证明:PB⊥CD;

(2)求二面角A-PD-C的大小。

正确答案

见解析。

解析

(1)

证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形。

过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.

连结OA,OB,OD,OE.

由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,

所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,

故OE⊥BD,从而PB⊥OE.

因为O是BD的中点,E是BC的中点,

所以OE∥CD.因此PB⊥CD.

(2)解法一:由(1)知CD⊥PB,CD⊥PO,PB∩PO=P,

故CD⊥平面PBD.

又PD平面PBD,所以CD⊥PD.

取PD的中点F,PC的中点G,连结FG,

则FG∥CD,FG⊥PD.

连结AF,由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.

所以∠AFG为二面角A-PD-C的平面角。

连结AG,EG,则EG∥PB.

又PB⊥AE,所以EG⊥AE.

设AB=2,则AE=,EG==1,

故AG==3.

在△AFG中,FG=,AG=3,

所以cos∠AFG=.

因此二面角A-PD-C的大小为.

解法二:

由(1)知,OE,OB,OP两两垂直。

以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

设||=2,则A(,0,0),D(0,,0),C(,0),P(0,0,)。

=(),=(0,)。

=(,0,),=(,0)。

设平面PCD的法向量为n1=(x,y,z),则n1·=(x,y,z)·()=0,

n1·=(x,y,z)·(0,)=0,

可得2x-y-z=0,y+z=0.

取y=-1,得x=0,z=1,故n1=(0,-1,1)。

设平面PAD的法向量为n2=(m,p,q),则n2·=(m,p,q)·(,0,)=0,n2·=(m,p,q)·(,0)=0,可得m+q=0,m-p=0.

取m=1,得p=1,q=-1,故n2=(1,1,-1)。

于是cos〈n1n2〉=.

由于〈n1n2〉等于二面角A-PD-C的平面角,所以二面角A-PD-C的大小为.

知识点

排列数公式的推导
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

函数f(x)=ln(x+1)﹣(a>1)。

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设a1=1,an+1=ln(an+1),证明:<an

正确答案

见解析。

解析

(1)函数f(x)的定义域为(﹣1,+∞),f′(x)=

①当1<a<2时,若x∈(﹣1,a2﹣2a),则f′(x)>0,此时函数f(x)在(﹣1,a2﹣2a)上是增函数,

若x∈(a2﹣2a,0),则f′(x)<0,此时函数f(x)在(a2﹣2a,0)上是减函数,

②当a=2时,f′(x)>0,此时函数f(x)在(﹣1,+∞)上是增函数,

③当a>2时,若x∈(﹣1,0),则f′(x)>0,此时函数f(x)在(﹣1,0)上是增函数,

若x∈(0,a2﹣2a),则f′(x)<0,此时函数f(x)在(0,a2﹣2a)上是减函数,

若x∈(a2﹣2a,+∞),则f′(x)>0,此时函数f(x)在(a2﹣2a,+∞)上是增函数。

(2)由(Ⅰ)知,当a=2时,此时函数f(x)在(﹣1,+∞)上是增函数,

当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=0,

即f(x+1)>,(x>0),

又由(1)知,当a=3时,f(x)在(0,3)上是减函数,

当x∈(0,3)时,f(x)<f(0)=0,f(x+1)>

下面用数学归纳法进行证明<an成立,

①当n=1时,由已知

,故结论成立。

②假设当n=k时结论成立,即

则当n=k+1时,an+1=ln(an+1)>ln(

an+1=ln(an+1)<ln(

即当n=k+1时,成立,

综上由①②可知,对任何n∈N结论都成立。

知识点

排列数公式的推导
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