热门试卷

（1）

证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形。

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.

连结OA，OB，OD，OE.

由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，

所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，

故OE⊥BD，从而PB⊥OE.

因为O是BD的中点，E是BC的中点，

所以OE∥CD.因此PB⊥CD.

（2）解法一：由（1）知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，

故CD⊥平面PBD.

又PD平面PBD，所以CD⊥PD.

取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，

则FG∥CD，FG⊥PD.

连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.

所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角。

连结AG，EG，则EG∥PB.

又PB⊥AE，所以EG⊥AE.

设AB＝2，则AE＝，EG＝＝1，

故AG＝＝3.

在△AFG中，FG＝，，AG＝3，

所以cos∠AFG＝.

因此二面角A－PD－C的大小为.

解法二：

由（1）知，OE，OB，OP两两垂直。

以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

设||＝2，则A(，0,0)，D(0，，0)，C(，，0)，P(0,0，)。

＝(，，)，＝(0，，)。

＝(，0，)，＝(，，0)。

设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝(x，y，z)·(，，)＝0，

n1·＝(x，y，z)·(0，，)＝0，

可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.

取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)。

设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，则n2·＝(m，p，q)·(，0，)＝0，n2·＝(m，p，q)·(，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.

取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)。

于是cos〈n1，n2〉＝.

由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为.