圆的切线的性质定理的证明_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

21．（选修4—1：几何证明选讲）

如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接. 若，，求的长.

正确答案

解析

试题分析：本题属于平面几何中的基本问题，通过三角形相似得到角相等，再由全等三角形的性质得到边相等，进而求出BD.

因为与相切于，所以，

又因为为的直径，所以.

又，所以，所以，所以.

又，，所以.

所以，所以，

又，所以.

考查方向

本题考查了三角形相似和三角形全等的判定和性质、直线与圆相切的转化。

解题思路

判定三角形相似和全等的方法要牢记，要借助图形判断，要结合题意找出需要的条件。

易错点

找不到角相等的转化，从而在三角形相似和三角形全等中造成条件不足。

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4—1：几何证明选讲

如图，正方形边长为2，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．

28.求证：；

29．求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析．

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，所以EA为圆D的切线．得；另外圆O以BC为直径，所以EB是圆O的切线．得，因此．

考查方向

本题考查了相交弦定理，射影定理等知识点。

解题思路

直接利用相交弦定理即可证明．

易错点

不熟悉射影定理导致本题失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

．

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：连结，因为BC为圆O直径，所以．在直角△中，可求得．由射影定理得．

考查方向

本题考查了相交弦定理，射影定理等知识点。

解题思路

利用相射影定理求的值．

易错点

不熟悉射影定理导致本题失分。

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4—1；几何证明选讲

如图所示，圆的两弦和交于点，∥，交的延长线于点，切圆于点.

29.求证：△∽△；

30.如果，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

相似三角形、与圆有关的比例线段

解题思路

利用辅助线，做出相似三角形，根据相似求出相关线段的长

易错点

辅助线，三角形相似条件找不准

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

∽又因为为切线，则

所以，.

考查方向

相似三角形、与圆有关的比例线段

解题思路

利用辅助线，做出相似三角形，根据相似求出相关线段的长

易错点

辅助线，三角形相似条件找不准

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4—1：几何证明选讲

如图6，圆O的直径，P是AB延长线上一点，BP=2 ,割线PCD交

圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.

28. 当时，求的度数；

29.求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

解：(Ⅰ) 连结BC，∵AB是圆O的直径 ∴则，

又，

，

∵；

考查方向

本题主要考查直径所对的圆周角是直角，四点共圆，切割线定理等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力。

解题思路

找不到与之间的关系；

易错点

不会使用第（1）问的结论推导第（2）问；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）24；

解析

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，

∴D、C、E、F四点共圆，

∴,

∵PC、PA都是圆O的割线，∴，

∴=24.

考查方向

本题主要考查直径所对的圆周角是直角，四点共圆，切割线定理等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力。

解题思路

无法发现D、C、E、F四点共圆导致不能使用割线定理。

易错点

不会使用第（1）问的结论推导第（2）问；

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4-1：几何证明选讲．

如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．

27.求证：；

28.若，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

∵,∴∽,∴，又∵,∴, ∴,，∴∽， ∴， ∴，又∵，∴．

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先证明,再证，可证得

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

PA=

解析

∵, ∴ ，∵ ∴

由27题可知：，解得.∴． ∵是⊙的切线，∴，∴，解得．

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先综合题中条件及27中结论，解出EP=,BP=,再由切割线定理，解得PA=

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

如图，A、B是圆O上的两点,且AB的长度小于圆O的直径，

直线与AB垂于点D且与圆O相切于点C.若

27. 求证：为的角平分线;

28.求圆的直径的长度。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

(I)如图22-1，由切割线定理得

= ，为的角平分线

考查方向

本题主要考查切割线定理、弦切角定理、直径所对的圆周角是直角、相等的圆周角所对的弦长相等等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和运算能力。

解题思路

先根据切割线定理求出，然后求出，后即可得到答案；

易错点

不会根据切割线定理求解；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）4

解析

(2）：如图22-2连结并延长交圆于点,连结,

设延长线上一点为,则AE为圆O直径，

直线与圆O相切于点C. ，

（等角的余角相等）

（相等的圆周角所对的弦相等）

圆的直径为4

考查方向

本题主要考查切割线定理、弦切角定理、直径所对的圆周角是直角、相等的圆周角所对的弦长相等等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和运算能力。

解题思路

先证明，后根据勾股定理即可求得答案。

易错点

不会做辅助线导致无法求出正确答案。

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

等腰梯形中，∥，、交于点，平分，为梯形外接圆的切线，交的延长线于点．

27.求证：；

28.若，，，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略；

解析

(1) 为圆的切线，平分

为圆的切线．-------------5分

考查方向

切割线定理、相似三角形的判定.

解题思路

根据切割线定理得，再证 ,即可得证.根据同弧对的圆周角相等，可得，进一步求即可.

易错点

难以找出相等的角，进而将边转化求长度.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

与相似，

．-------------10分

考查方向

切割线定理、相似三角形的判定.

解题思路

根据切割线定理得，再证 ,即可得证.根据同弧对的圆周角相等，可得，进一步求即可.

易错点

难以找出相等的角，进而将边转化求长度.

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上,延长BC到D使,过C作圆O的切线交AD于E.若,.

27.求证：;

28.求BC的长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

连接，因分别为的中点，所以,

又为圆的切线，,所以

考查方向

圆切线的判定与性质

解题思路

作出半径，然后证明垂直关系

易错点

几何关系找不全，逻辑混乱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

依题意易知,所以,又

,所以,从而.

考查方向

与圆有关的比例线段，相似三角形的性质和判定

解题思路

根据圆的比例线段关系，证明三角形相似，然后求出比例等式，进而求出线段的值

易错点

几何关系找不全，逻辑关系混乱

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

7. 已知为圆的直径，于，为的中点，与相交于点，切线与的延长线交于点.若圆的半径为1，则的长为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为DE为圆OD的直径，所以EC垂直于CD，因为圆O的半径为1，2ON=EC,所以,在直角三角形DEF中，

,所以选A

考查方向

与圆有关的比例线段

解题思路

利用射影定理求EF的长

易错点

对圆的切线的性质掌握不好

知识点

圆的切线的性质定理的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．选修4-1：几何证明选讲

如图，切于点，直线AO交于，两点，，垂足为．

（1）证明：；

（2）若，，求的直径．

23.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．

（1）写出的直角坐标方程；

（2）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．

24.选修4-5：不等式选讲

已知关于的不等式的解集为．

（1）求实数，的值；

（2）求的最大值．

正确答案

22.（1）因为DE为圆O的直径，则，

又BCDE，所以CBD+EDB=90°，从而CBD=BED.

又AB切圆O于点B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.

（2）由（1）知BD平分CBA，则,又，从而，

所以，所以.

由切割线定理得，即=6，

故DE=AE-AD=3，即圆O的直径为3.

23.（1）由，

从而有.

（2）设,则，

故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.

24.（1）由，得

则解得,

（2）

当且仅当，即时等号成立，

故.

解析

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知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

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解析

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易错点

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易错点

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易错点

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