函数概念与表示
共2805题

函数概念与表示
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设, 为奇函数。

（1）求函数的零点；

（2）设, 若不等式在区间上恒成立, 求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

由f(x)是奇函数，可得a=1，所以，f（x）＝

（1）F（x）＝＋＝

由＝0，可得＝2，所以，x=1，即F（x）的零点为x＝1。

（2）f－1（x）＝，在区间上，由恒成立，即

≤恒成立，即恒成立

即，，所以，

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数f （x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=　　。

正确答案

解析

由函数的图象可得 ==，解得ω=，

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，在△ABC中，B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为　　。

正确答案

解析

在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，

由余弦定理得cos∠ADC==﹣，

∴∠ADC=120°，∠ADB=60°

在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，

由正弦定理得，

∴AB=

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数。

（1）若a=-1，求函数的单调区间；

（2）若函数的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o，对于任意的t [1，2]，函数是的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；

（3）求证：

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，解得；解得的单调增区间为，减区间为 . ………4分

（2） ∵∴得，，∴

∵在区间上总不是单调函数，且∴ …………………7分

由题意知：对于任意的，恒成立，

所以，，∴. ………（3）证明如下：由（1）可知

当时，即，

∴对一切成立，…………………………………………………10分

∵，则有，∴. …………………11分

. ………13分

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数（其中，），且函数的图像关于直线对称。

（1）求的值；（2）若，求的值。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：（1）∵，……………………………………2分

∴函数的最小正周期为。……………………………………3分

∵函数，……………………………………5分

又的图像的对称轴为（），………………………………6分

令，

将代入，得（）。

∵，∴。……………………………………7分

（2）解：，…9分

………12分

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

记定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f′（x0）（b﹣a）成立，则称x0为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”，那么函数f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”的个数为　　。

正确答案

解析

∵函数f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3x2﹣3。

又f（2）﹣f（﹣2）=23﹣3×2﹣[（﹣2）3﹣3×（﹣2）]=4，2﹣（﹣2）=4。

设x0∈[﹣2，2]为函数f（x）在区间[﹣2，2]上的“中值点”。

则4f′（x0）=4，得f′（x0）=1。

∴，解得。

∴函数f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”为，其个数为2。

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 16 分

设函数，（为实数，）。

（1）求证：函数不是奇函数；

（2）若在单调减，求满足不等式的的取值范围；

（3）求函数的值域（用表示）。

正确答案

见解析

解析

（1）假设是奇函数，则，而，则，而，故假设不成立，从而函数不是奇函数。

（2）因在单调减，则，

则，而，则，于是；

（3）设，则，，

当时，在时单调增，则；

当时，；

故当时，的值域为；

当时，的值域为；

当时，的值域为。

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

记函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=lg（x﹣1）的定义域为B，则A∩B=。

正确答案

（1，3]

解析

∵函数f（x）=的定义域为A，∴A={x|x≤3}。

∵函数g（x）=lg（x﹣1）的定义域为B，∴B={x|x＞1}。

∴A∩B={x|1＜x≤3}=（1，3]，

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 16 分

设函数是定义在R＋上的减函数，并且满足，，

（1）求的值，

（2）如果，求x的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）令，则，∴

（2）∵ ∴

∴，又由是定义在R＋上的减函数，得：

解之得：。

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 16 分

已知奇函数在处取得极大值2。

（1）求函数的解析式；

（2）对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；

（３）若关于的一元二次方程两个根均大于1，求函数的单调区间。

正确答案

见解析

解析

（1）由题，解得，；

（2）4，故的最小值为4；

（3）两个根均大于1，则求得，

，则。

。

而，则时，，故是的单调增区间，

时，，故是的单调减区间。

知识点

函数的概念及其构成要素

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