函数概念与表示_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数g（x）＝，f（x）＝g（x）－ax。

（1）求函数g（x）的单调区间;

（2）若函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，求实数a的最小值；

（3）若存在，∈[e，]，（e＝2。71828……是自然对数的底数）使f（）≤+a，求实数a的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）由得, 且,则函数的定义域为,

且,令,即,解得

当且时, ;当时,

函数的减区间是,增区间是

（2）由题意得，函数在上是减函数，

在上恒成立，即在上恒成立，

令，,因此即可

由，当且仅当,即时等号成立，，因此,故的最小值为

（3）命题“若存在，使，”等价于

“当时，有”，

由（2）得，当时，，则，

故问题等价于：“当时，有”，

,由（2）知,

① 当时，在上恒成立，因此在上为减函数，则,故,

②当时，在上恒成立，因此在上为增函数，

则,不合题意

③ 当时，由于

在上为增函数，故的值域为，即。

由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足：

当时，，减函数；

当时，，增函数；

所以，,,

所以，与矛盾，不合题意。

综上，得。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

设函数的定义域为R，若存在常数对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”.现给出下列函数：

①；

②；

③；

④是定义在实数集R上的奇函数，且对一切均有.其中是“条件约束函数”的序号是________

正确答案

①③④

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是

A增函数

B减函数

C先增后减的函数

D先减后增的函数

正确答案

A

解析

由题意，故有所以函数的周期是2，

又函数f（x）是定义域为R的偶函数且在[﹣1，0]上是减函数，故在[0，1]上增，

由上性质知，f（x）在[2，3]上的单调性与在[0，1]上的单调性相同，故f（x）在[2，3]上是增函数。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内

A没有零点

B有且仅有一个零点

C有且仅有两个零点

D有无穷多个零点

正确答案

B

解析

f′（x）=+sinx

①当x∈[0.π）时，＞0且sinx＞0，故f′（x）＞0

∴函数在[0，π）上为单调增，

取x=＜0，而＞0

可得函数在区间（0，π）有唯一零点，

②当x≥π时，＞1且cosx≤1

故函数在区间[π，∞）上恒为正值，没有零点，

综上所述，函数在区间[0，+∞）上有唯一零点。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

义在R上的函数是增函数，且对任意的恒有，若实数满足不等式组，则的范围为

正确答案

[13，45]

解析

∵f（x）=-f（2-x），∴-f（x）=f（2-x），

∴f（a2-6a+23）+f（b2-8b）≤0

可化为f（a2-6a+23）≤-f（b2-8b）=f（2-b2+8b），

又∵f（x）在R上单调递增，∴a2-6a+23≤2-b2+8b，

即a2-6a+23+b2-8b-2≤0，配方可得（a-3）2+（b-4）2≤4，

∴原不等式组可化为，

如图，点（a，b）所对应的区域为以（3，4）为圆心，

2为半径的右半圆（含边界），

易知a2+b2表示点（a，b）到点（0，0）的距离的平方，

由图易知：|OA|2≤a2+b2≤|OB|2，可得点A（3，2），B（3，6）

∴|OA|2=32+22=13，|OB|2=32+62=45，

∴13≤m2+n2≤45，即m2+n2的取值范围为[13，45]。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知关于函数，

（1）试求函数的单调区间；

（2）若在区间内有极值，试求a的取值范围；

（3）时，若有唯一的零点，试求.

（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如；以下数据供参考：）

正确答案

见解析

解析

（1）由题意的定义域为

（i）若，则在上恒成立，为其单调递减区间；

（ii）若，则由得，

时，，时，，

所以为其单调递减区间；为其单调递增区间；

（2）

所以的定义域也为，且

令（i）

则（ii）

时, 恒成立,所以为上的单调递增函数，又，所以在区间内至少存在一个变号零点，且也是的变号零点，此时在区间内有极值

时,即在区间(0,1)上恒成立,此时, 无极值。

综上所述,若在区间内有极值，则a的取值范围为.

（3）,由（2）且知时, .

又由（i）及（ii）式知在区间上只有一个极小值点,记为, 且时单调递减, 时单调递增,由题意即为,

消去a,得

时令,

则在区间上为单调递增函数, 为单调递减函数,

且

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数。

（1）求的单调区间和极值；

（2）设，，且，证明：。

正确答案

见解析。

解析

（1）定义域为

令则 ∴；令则 ∴

∴的单调增区间是，单调减区间是

极小值，无极大值

（2）证明：不妨设，

两边同除以得，

令，则，即证：

令

令，

，在上单调递减，所以

即，即恒成立

∴在上是减函数，所以

∴得证

所以成立

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

函数的定义域是_________.

正确答案

{x|10<x<100}

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知某质点的位移s与移动时间t满足s=t2•et﹣2，则质点在t=2的瞬时速度是

A4

B6

C8

D16

正确答案

C

解析

∵s=t2•et﹣2，∴s′=（t2+2t）et﹣2，∴s′（2）=（22+2×2）e2﹣2=8。

∴则质点在t=2的瞬时速度是 8。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

定义在（-1，1）上的函数f（x）=-5x+sinx，如果f（1-a）+f（1-a2）＞0，则实数a的取值范围为

正确答案

解析

∵f（x）=﹣5x+sinx，

∴f（﹣x）=5x﹣sinx=﹣（﹣5x+sinx）=﹣f（x），又x∈（﹣1，1）

∴f（x）为奇函数；

∴f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0⇔f（1﹣a）＞﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），

又f′（x）=﹣5+cosx＜0，

∴f（x）为减函数；

∴﹣1＜1﹣a＜a2﹣1＜1，

解得：。

知识点

函数的概念及其构成要素

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