热门试卷

（1）0≤x＜1时，由f（x）=得，∴x=，

即a1=。

1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，f（x）=2f（x﹣1）=2x﹣2，

由f（x）=得2x﹣2=，∴x=+1，

∴a2=+1；

（2）设n﹣1≤x＜n，则0≤x﹣（n﹣1）＜1，

∴f（x）=21f（x﹣1）=22f（x﹣2）=…=2n﹣1f[x﹣（n﹣1）]=2n﹣1（2x﹣n+1﹣1）=2x﹣2n﹣1，

∵2n＜2n+1＜2n+1，∴x=log2（2n+1）﹣1∈（n﹣1，n），

即方程f（x）=在x∈[n﹣1，n）内有且仅有一个实根，

∴an=log2（2n+1）﹣1。

（1）f(x)＝|x-3|＋|x-4|＝………………………………2分

作函数y＝f(x)的图象，它与直线y＝2交点的横坐标为和，由图象知

不等式的定义域为[，]。    …………………………5分

（2）函数y＝ax-1的图象是过点(0，-1)的直线。

当且仅当函数y＝f(x)与直线y＝ax-1有公共点时，存在题设的x。

由图象知，a取值范围为(-∞，-2)∪[，＋∞)。 …………………………10分

（1）当a=3时，f（x）=x-3x，

∴f′（x）=1-3xln3，

∴f′（1）=1-3ln3，

∵f（1）=-2，

∴曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y+2=（1﹣3ln3）（x﹣1），即y=（1﹣3ln3）x﹣3+3ln3；

（2）f′（x）=1﹣axlna。

①0＜a＜1时，ax＞0，lna＜0，∴f′（x）＞0，

∴f（x）在R上为增函数，f（x）无极大值；

②a＞1，设f′（x）=0的根为t，则at=，即t=，

∴f（x）在（-∞，t）上为增函数，在（t，+∞）上为减函数，

∴f（x）的极大值为f（t）=t﹣at=﹣，即g（a）=﹣，

∵a＞1，∴＞0。

设h（x）=xlnx-x，x＞0，则h′（x）=lnx=0得x=1，

∴h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，

∴h（x）的最小值为h（1）=-1，即g（a）的最小值为-1，此时a=e。

解析：（1）由f（x）=alnx+（a≠0），得：，

∵a≠0，令，∴g（0）=1＞0。

令或，  则0＜a＜2。

（2）由（1）得：，

设ax2﹣（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，

则，得。

当x∈（0，α）和（β，+∞）时，，函数f（x）单调递增；

当x∈和（2，β）时，，函数f（x）单调递减，

则f（x1）≤f（a），f（x2）≥f（β），

则f（x2）﹣f（x1）≥f（β）﹣f（α）=alnβ﹣alnα﹣

==（利用）

令，x＞2则，

则函数h（x）单调递增， h（x）≥h（2）=2ln2+，

∴，

∵，则，

∴f（x1）﹣f（x2）≥ln2+。

（1）   ……2分

由题可知 ，易知，……………………………3分

令 ，则，则 为增函数所以为的唯一解. ………………………………………4分

令

可知f(x)的减区间为（）

同理增区间为（），（）   ……………………………………6分

（2）令

注：此过程为求最小值过程，方法不唯一，只要论述合理就给分，

若则，在为增函数，

则满足题意；……………………………………………9分

若则

因为，

则对于任意，必存在，使得

必存在使得则在为负数，

在为减函数，则矛盾，…………………………11分

注：此过程为论述当时存在减区间，方法不唯一，只要论述合理就给分；

综上所述                                                   …………………………………12分