函数概念与表示
共2805题

函数概念与表示
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点。

（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；

（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M,且,当m变化时,求的值.

正确答案

见解析

解析

（1）易知,,,. .

（2）,设,则由可得:

，故. .

又由得.. 同理.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 14 分

（1）讨论函数()的图像与直线的交点个数。

（2）求证:对任意的,不等式总成立。

正确答案

见解析

解析

（1）解:由题意得:.令,得。

当时,,故函数在上递增；

当时,,故函数在上递减；

又因为,,,所以当或时,没有交点；当或时,有唯一的交点；当时,有两个交点。

（2）证明:由（1）知函数在上递增,在上递减,故在上的最大值为.即对均有,故.

当时,结论显然成立；当时,有:

综上可知,对任意的,不等式成立。

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为 (　　)

正确答案

解析

。

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，.求:

（1）函数的最小值及取得最大值的自变量的集合；

（2）函数的单调增区间。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）解:

当,即时, 取得最大值.

函数的取得最大值的自变量的集合为……………6分

（2）

由题意得:

即:

因此函数的单调增区间为……………12分

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 13 分

设函数，若时，有极小值，

（1）求实数的取值；

（2）若数列中，，求证：数列的前项和；

（3）设函数，若有极值且极值为，则与是否具有确定的大小关系？证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

（1）…………1分

…………3分

…………分

（2）由条件和第（1）问可知，函数在上单调递增，…………5分

…………7分

（3），由有极值且的定义域为可知：

异号，极小值点为，…………8分

…………9分

令，构造函数，由条件和第（1）问可知：

时，有极小值

而…………11分

所以可能大于0或可能等于0或可能小于0，

即的极值与不具有明确的大小关系。…………13分

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知.

（1）求函数在上的最小值；

（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对一切，都有成立。

正确答案

见解析

解析

（1）.

当单调递减，当单调递增

① ，即时，；

②，即时，在上单调递增，。

所以.

（2），则，

设，则，

① 单调递减，② 单调递增，

所以，对一切恒成立，

所以.

（3）问题等价于证明，

由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到

设，则，易知

，当且仅当时取到，

从而对一切，都有成立.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 13 分

某地一渔场的水质受到了污染，渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf(x)，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化.

（1）如果投放的药剂质量为m=6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?

（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围。

正确答案

（1）8天

（2）[6,9]

解析

（1）由题设：投放的药剂质量为，

渔场的水质达到有效净化

或

或，即：，

所以如果投放的药剂质量为，自来水达到有效净化一共可持续8天。

（2）由题设：，，

，

，且，

且，，

投放的药剂质量的取值范围为。

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

若函数的定义域是,则其值域为（）

正确答案

解析

分x<1与2≤x<5讨论.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数f(x)=Acos2(ωx+)+1（A>0，ω>0）的最大值为3，f(x)的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=____________

正确答案

200

解析

易知A=2 ,ω= ,=±,y=2－cos(πx+)=2±sinπx,从而

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=2×100=200.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数。

（1）求函数f (x)的最小正周期；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足，求f(B)的取值范围。

正确答案

（1）π

（2）

解析

（1）f (x)=1+sin2x+(1−cos2x) =1++2sin

f(x)的最小正周期为

（2）由可得，即，

，得，

所以，

故，从而2sin，

因此f(x)的值域为。

知识点

函数的概念及其构成要素

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