热门试卷

（1）当时，。

图像如图（2分）

基本性质：（每个2分）

奇偶性：既非奇函数又非偶函数；

单调性：在和上分别递增；

零点：；

最值：无最大、小值，（6分）

（2），

当，时，数列单调递增，且此时均大于，

当，时，数列单调递增，且此时均小于，（8分）

因此，数列中的最大项为，（10分）

最小项为，（12分）

（3）由题意，在中无实数解，

亦即当时，方程无实数解，（14分）

由于不是方程的解，（16分）

因此对任意，使方程无实数解，则为所求，（18分）

解析：          2分（1+1）

                     4分

                                       5分

（1）函数的最小正周期                         7分

（2）当时，                   9分

当时，

                        11分

当时，

                            13分

得函数在上的解析式为

（1）

由已知有：

从而

令得：

当变化时，的变化情况如下表：

从上表可知：在上是减函数；

在上是增函数，

（2），由(1)知：

①当时，在闭区间上是增函数。

，且

，且

解得

又

故此时的不存在

②当时，，则最大值为

将代入，得

又的最小值为

③当时，在闭区间上是减函数，

又时，其最小值不可能为0

∴此时的也不存在，

综上所述

解析：（1） …3分

所以函数的最小正周期为                        …………………3分

（2） ………………………2分

∵，∴， ……………2分

∴.                                        …………………2分
另解： …2分

∵，∴， ……………………2分

∴，即.

解析：（1）f(x)的定义域为……………………………………………..2分

f(-x)=log2=log2=-f(x)，

所以，f(x)为奇函数.                ………………………………………..6分

（2）由y=，得x=,

所以，f -1(x)= ,x0.             ……………………………………..9分

因为函数有零点，

所以，应在的值域内.

所以，log2k==1+,    ………………….13分

从而，k.

（1）证明：设，所以

当时，，当时，，当时，。

即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，

因为，所以对任意实数均有 。

即，所以，

（2）解：当时，，

用数学归纳法证明如下：

①当时，由（1）知。

②假设当（）时，对任意均有

令，，

因为对任意的正实数，，

由归纳假设知，，

即在上为增函数，亦即，

因为，所以。

从而对任意，有。

即对任意，有。

这就是说，当时，对任意，也有。

由①、②知，当时，都有，

（3）先证对任意正整数，。

由（2）知，当时，对任意正整数，都有。

令，得，所以，

再证对任意正整数，

。

要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立。

即要证明对任意正整数，不等式（*）成立，

①当时，成立，所以不等式（*）成立。

②假设当（）时，不等式（*）成立，

即，

则。

因为，

所以，

这说明当时，不等式（*）也成立。

由①、②知，对任意正整数，不等式（*）都成立。

综上可知，对任意正整数，不等式成立。

（1）解：函数的定义域为(0，+∞)。  

①当时，

∴函数单调递增区间为(0，+∞)，              

②当时，令得

(i)当，即时，得，故

∴函数的单调递增区间为(0,+∞)                   

(ii)当，即时，方程的两个实根分别为

若，则，此时，当时，

∴函数的单调递增区间为(0，+∞)，          

若，则

此时，当时，，当时，

∴函数的单调递增区间为单调递减区间为

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间

为

当时，函数的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间，  

(2)解：由(1)得当时，函数在(0，+∞)上单调递增，故函数无极值；

当时，函数的单调递增区间为单谢递减区间为

则有极大值，其值为，其中

而，即

设函数，则       

则在(0，+∞)上为增函数。

又，则等价于

等价于               

即在时，方程的大根大于1，

设由于的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0，-l)，对称

轴，则只需，即，解得，而

故实数的取值范围为(0，2）

说明：若采用下面的方法求出实数的取值范围的同样给1分。

（i），由于在(0，+∞)是减函数，

而时，故的解集为(0，2)，

从而实数的取值范围为(0，2)

（ii）直接解不等式，而通过分类讨论得出实数的取值范围为

(0，2)。

解析：（1）令，解得,……………2分

对任意

所以函数是奇函数.  ………………………………………………………2分
另证：对任意

所以函数是奇函数.              …………………………………2分

（2）由知，函数在上单调递减，

因为，所以在上是增函数  ………………………2分

又因为时，的值域是，所以

且在的值域是，

故且（结合图像易得）……………2分

解得（舍去）。

所以，             …………………………………2分

（3）假设存在使得

即

，

解得，                       …………………………………3分

下证：。

证明：
，∴，
∴，即，∴

所以存在，使得    ……………3分

另证：要证明，即证，也即。

，∴∴，

∴。

所以存在，使得

解：（１）. 由，得，此时.

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减.

函数在处取得极大值，故.

（２）令，

则.

函数在上可导，存在，

使得.                

， 当时，，单调递增，；

当时，，单调递减，；

故对任意，都有