- 频率分布直方图
- 共93题
（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准
正确答案
（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，
解得a=0.30．
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12=36 000．
（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，
解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
知识点
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准
16.求直方图中a的值；
17.设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
18.若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准
正确答案
（Ⅰ）
解析
（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1
∵频率=(频率/组距)*组距
∴
得
考查方向
解题思路
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能
易错点
本题主要在计算中易错
正确答案
（Ⅱ）36000；
解析
（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：
考查方向
解题思路
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能
易错点
本题主要在计算中易错
正确答案
（Ⅲ）2.9
解析
（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，
解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
考查方向
解题思路
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能
易错点
本题主要在计算中易错
11.某高校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为
正确答案
48
解析
这80名教师中年龄小于45岁的教师频率为：（0.04+0.08）×5=0.6
这80名教师中年龄小于45岁的教师人数为：0.6×80=48．
考查方向
解题思路
根据直方图中的各个矩形的面积代表了频率，先求出年龄小于45的教师的频率，再根据频率与频数的关系进行求解．
易错点
本题必须注意直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数=频率×样本容量．
知识点
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（ ）
正确答案
知识点
某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①[0，30），② [30，60），③[60，90），④[90， 120），……得到频率分布直方图（部分）如图（4）．
19.如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表；并判断是否有95％的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?
20.若在第①组、第②组、第③组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
（1）
由于K2>3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关
解析
解：（1）
K2=
由于K2>3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关
考查方向
解题思路
（1）根据走读生和住宿生的样本数完成表格，并由表格计算K2确定相关程度
（2）首先计算出第①组、第②组、第③组各抽取的人数，再确定随机变量X的所有可能取值并计算其概率完成分布列，最后计算数学期望。
易错点
各组人数的确定和离散型随机变量的概率的计算
正确答案
（2）
解析
（2）设第i组的频率为Pi（i=1,2,…,8),则由图可知：P1=
则X的所有可能取值为0,1,2,3，
(或由X服从超几何分布，
考查方向
解题思路
（1）根据走读生和住宿生的样本数完成表格，并由表格计算K2确定相关程度
（2）首先计算出第①组、第②组、第③组各抽取的人数，再确定随机变量X的所有可能取值并计算其概率完成分布列，最后计算数学期望。
易错点
各组人数的确定和离散型随机变量的概率的计算
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