函数解析式的求解及常用方法
共177题

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函数解析式的求解及常用方法
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题型：简答题

简答题 · 15 分

21．已知是定义在上的奇函数，当时，

（1）求的解析式；

（2）是否存在实数a，使得当的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由。

正确答案

（1）设

上的奇函数，

故函数的解析式为：

（2）假设存在实数a，使得当

有最小值是3。

①当时，

由于故函数上的增函数。

解得（舍去）

②当

解得

综上所知，存在实数，使得当最小值3。

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知识点

函数解析式的求解及常用方法函数的最值及其几何意义函数奇偶性的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

13．设,则的值为______.

正确答案

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知识点

函数解析式的求解及常用方法函数的值三角函数中的恒等变换应用

题型：简答题

简答题 · 13 分

18．已知函数，．

（Ⅰ）求函数的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）设的内角、、的对边分别为、、，满足，且，求、的值．

正确答案

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函数解析式的求解及常用方法

题型：简答题

简答题 · 12 分

22．抛物线经过点、与，其中，，设函数在和处取到极值.

（1）用表示；

（2）比较的大小（要求按从小到大排列）；

（3）若，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，求的解析式。

正确答案

（1）由抛物线经过点、设抛物线方程，

又抛物线过点，则，得，

所以。

（2），

，函数在和处取到极值，

故，

，

又，故。

（3）设切点，则切线的斜率

又，

所以切线的方程是

又切线过原点，故

所以，解得，或。

两条切线的斜率为，，

由，得，，

，

所以，

又两条切线垂直，故，所以上式等号成立，有，且。

所以。

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函数解析式的求解及常用方法

题型：简答题

简答题 · 12 分

16.函数f(x)＝Asin(ωx－)＋1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）设α∈(0，2π)，f()＝2，求α的值．

正确答案

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函数解析式的求解及常用方法

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．已知函数，下列关于函数的零点个数的四个判断正确的有（）

（1）当时，有3个零点；

（2）当时，有2个零点；

（3）当时，有4个零点；

（4）当时，有1个零点．

A（1）（4）

B（2）（3）

C（1）（2）

D（3）（4）

正确答案

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函数解析式的求解及常用方法二次函数的零点问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

14．已知函数，若，且，则的取值范围是（）．

正确答案

(-1,1)

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函数解析式的求解及常用方法

题型：简答题

简答题 · 12 分

22．已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。

（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；

（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3）设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。

正确答案

（1）函数的反函数是

而其反函数为

故函数不满足“1和性质”

（2）设函数满足“2和性质”，

而得反函数

由“2和性质”定义可知=对恒成立

即所求一次函数为

（3）设，，且点在图像上，则在函数图象上，

故，可得，

，

令，则。，即。

综上所述，，此时，其反函数就是，

而，故与互为反函数。

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函数解析式的求解及常用方法反函数

题型：简答题

简答题 · 15 分

22．已知是定义在上的奇函数，当时，

（1）求的解析式；

（2）是否存在实数，使得当的最小值是4？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。

正确答案

（1）设

上的奇函数，

故函数的解析式为：

（2）假设存在实数，使得当

有最小值是3。

①当时，

由于故函数上的增函数。

解得（舍去）

②当

解得

综上所知，存在实数，使得当最小值4。

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函数解析式的求解及常用方法

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．如图，一吊灯的底是直径为米的圆形，圆心为，通过细绳悬挂在天花板上，底面呈水平状态，并且与天花板的距离（即）为米，在圆周上设置三个等分点，点为上一点（不包含端点），同时点与点均用细绳相连接，且细绳的长度相等．设，细绳的总长为米．

（1）将表示成的函数，并指出定义域；

（2）请你设计：当角正弦值的大小是多少时，细绳总长最小，并指明此时应为多长。

正确答案

（1），于是

（2）由（1）知，

令，则可看成点和连线的斜率，

当时，，此时，

∴当时，细绳总长最小，此时应为米．

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