函数解析式的求解及常用方法
共177题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

某企业计划投资A，B两个项目, 根据市场分析，A，B两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2，X1和X2的分布列分别为：

（1）若在A，B两个项目上各投资1000万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求利润的期望和方差；

（2）由于资金限制,企业只能将x(0≤x≤1000)万元投资A项目，1000－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和，求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题设可知Y1和Y2的分布列为

--------------2分

E(Y1)＝50×0.8＋100×0.2＝60，----------------------------------3分

D(Y1)＝(50－60)2×0.8＋(100－60)2×0.2＝400，------------------------4分

E(Y2)＝20×0.2＋80×0.5＋120×0.3＝80，---------------------------------------5分

D(Y2)＝(20－80)2×0.2＋(80－80)2×0.5＋(120－80)2×0.3＝1200.-------------------6分

（2）

＝ [x2＋3(1000－x)2]＝ (4x2－6000x＋3×106)。--------------------------------10分

当时，f(x)＝300为最小值。-------------------------------12分

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数的最小正周期

为.

（1）求的解析式;

（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.

正确答案

见解析。

解析

（1）----------------------------1分

-----------------------------------------------------------3分

-----------------------------------------------------4分

-----------------------------------------5分

---------------------------------------------------------6分

（2），

，即，-------------------9分

当即时，，

当即时，. ---------------------------------12分

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，（其中），其部分图像如图5所示。

（1）求函数的解析式；

（2）已知横坐标分别为-1、1、5的三点、、都在函数的图像上，求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由图可知，，

最小正周期

所以

又，且

所以，

（2）解法一: 因为

，

所以，

，

从而，

由，得.

解法二: 因为

，

所以，

则.

由，得.

知识点

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题型：简答题

简答题 · 14 分

某学校每星期一供应1000名学生A、B两种菜。调查表明，凡在这星期一选A种菜的，下星期一会有改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有改选A种菜，设第个星期一选A、B两种菜分别有、名学生。

（1）若，求、；

（2）求，并说明随着时间推移，选A种菜的学生将稳定在600名附近。

正确答案

见解析。

解析

（1），

。

（2），，；

所以，

是以为首项，为公比的等比数列，

，，

随着时间推移，即越来越大时，趋于，所以趋于，趋于600并稳定在600附近。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 18 分

设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.

（1）求函数的解析式和值域；

（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；

（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）由恒成立等价于恒成立，……………………1分

从而得：，化简得，从而得，所以，………3分

其值域为.……………………4分

（2）解：当时，数列在这个区间上是递增数列，证明如下：

设，则，所以对一切，均有；……………………7分

，

从而得，即，所以数列在区间上是递增数列.………………10分

注：本题的区间也可以是、、等无穷多个.

另解：若数列在某个区间上是递增数列，则

即…………………………7分

又当时，，所以对一切，均有且，所以数列在区间上是递增数列.………………10分

（3）由（2）知，从而；

，即； ………12分

令，则有且；

从而有，可得，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，……………………14分

从而得，即，所以，

所以，所以， ………………16分

所以，

.…………………18分

知识点

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