热门试卷

(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，

所以DE＝且DE∥AC，

又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，

所以EF∥DA1.

又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，

所以EF∥平面A1CD.

(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，

又由于侧棱A1A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC，

所以A1A⊥CD，

又A1A∩AB＝A，

因此CD⊥平面A1ABB1，而CD⊂平面A1CD，

所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.

(3)解：在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，连接CG.

由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，

故BG⊥平面A1CD.

由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角。

设棱长为a，可得A1D＝，

由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.

在Rt△BGC中，sin∠BCG＝.

所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.

（1）设中点为O，连接OC，OE，则由知 ，，

又已知，所以平面OCE.

所以，即OE是BD的垂直平分线，

所以.

（2）取AB中点N，连接，

∵M是AE的中点，∴∥，

∵△是等边三角形，∴.

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，

所以ND∥BC，

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.

(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中，得

(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)

由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0，得k2＞3.

所以，k的取值范围是(－∞，)∪(，＋∞)。

(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，

则|OM|2＝(1＋k2)x12，|ON|2＝(1＋k2)x22，

又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2.

由，得

，

即.

由(*)式可知，x1＋x2＝，x1x2＝，

所以.

因为点Q在直线y＝kx上，

所以，代入中并化简，得5n2－3m2＝36.

由及k2＞3，可知0＜m2＜3，即m∈(，0)∪(0，)。

根据题意，点Q在圆C内，则n＞0，

所以.

于是，n与m的函数关系为(m∈(，0)∪(0，))。