· 导数与积分

· 导数的运算

导数的运算
共307题

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1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知直四棱柱的底面ABCD为正方形，，E为棱的中点。

（1）求证：；

（2）设F为AD中点，G为棱上一点，且

求证：FG∥平面BDE。

正确答案

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解析

（1）连接、，题得由，

，

∴，即同理，

∴平面

（2）

过点作交于点，∵，

∴，∴为等腰直角三角形，

，又，∴，

四边形为平行四边形

∴，又平面，

∴平面

知识点

导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知直线与椭圆相交于两点，是线段上的一点，，且点在直线上。

（1）求椭圆的离心率；

（2）设椭圆左焦点为，若为钝角，求椭圆长轴长的取值范围。

正确答案

见解析

解析

设两点的坐标分别为.

（1）由知是的中点，

由得：，

∴，，

∴点的坐标为.

又点在直线上，∴，

∴，∴，∴.

（2）由（1）知，方程化为

.

∴,,

由已知知,即

代入得,解得或，

综上得.

又 , ∴的取值范围是.

知识点

导数的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知偶函数，当时，，则函数的零点不可能在区间内。

A（－1，0）

B（0，1）

C

D

正确答案

C

解析

时，为增函数，又为偶函数，画出的草图，先考察时，的零点情况。

由知，时的零点在区间内，又为偶函数，所以另一零点在区间内，故应选“C”。

知识点

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1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线在点处的切线与x轴平行。

（1）求k的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中为的导函数，证明：对任意。

正确答案

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解析

解析：（1），

由已知，，∴。

（2）由（1）知，。

设，则，即在上是减函数，

由知，当时，从而，

当时，从而。

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是。

（3）由（2）可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立。

当时，＞1，且，∴。

设，，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值。

所以。

综上，对任意，。

知识点

导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数.

（1）若时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）设若存在对于任意使求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

……………… 1分

（1）当，；

故在点处的切线方程为：，即; ………………… 4分

（2）当

当令

综上：

………………… 8分

（3）由（2）知，，

，则,

因此，当时，一定符合题意; …………………11分

当

由题意知，只需满足 … …13分

综上： …………………14分

知识点

导数的运算

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