导数的运算
共307题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12π,则该三棱柱的体积为

正确答案

解析

设球半径，上下底面中心设为，，由题意，外接球心为的中点，设为，则，由，得，又易得，由勾股定理可知，，所以，即棱柱的高，所以该三棱柱的体积为.

知识点

导数的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知偶函数在区间上满足，则满足的的取值范围是

A（-3,1）

C（-3,3）

D（1,3）

正确答案

解析

因为偶函数在区间上满足，所以函数在区间上单调递增，在区间内单调递减，所以由可得，所以满足的的取值范围是。

知识点

导数的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则

正确答案

解析

略

知识点

导数的几何意义导数的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

设二次函数(为常数)的导函数为，对任意，不等式恒成立，则的最大值为________。

正确答案

解析

略

知识点

二次函数的图象和性质导数的运算利用导数研究函数的单调性利用基本不等式求最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是

正确答案

解析

，

当时，；当时，.

即该程序输出的. 故选D.

知识点

导数的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件：

① 、都在函数的图像上； ② 、关于原点对称.则称点对为函数的一对“友好点对”.（注：点对与为同一“友好点对”）

已知函数，此函数的“友好点对”有

A0对

B1对

C2对

D3对

正确答案

解析

由题意，当时，将的图像关于原点对称后可知的图像与时存在两个交点，故“友好点对”的数量为2，故选C.

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 13 分

在数列中，a1=- ,2an=an－1－n－1(n≥2，n∈),设bn= an+n.

（1）证明：数列｛bn｝是等比数列；

（2）若cn=－an，Pn为数列｛｝的前n项和，若Pn≤Cn+1对一切n∈均成立，求的最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由两边加得，

所以，即，数列是公比为的等比数列

其首项为，所以

（2）

①

②

①-②得

所以

(3)由（1）得，所以

由得：

令，可知f(n)单调递减，即

知识点

导数的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

如果直线和函数的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是

正确答案

解析

根据指数函数的性质，可知函数恒过定点.

将点代入，可得.

由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以.

由，解得或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是.

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：当时，对于任意正实数，不等式恒成立。

正确答案

见解析。

解析

（1）令,得.

当时，；当时，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增. (3分)

（2）由于，所以.

构造函数，则令，得.

当时，；当时，.

所以函数在点处取得最小值，即.

因此所求的的取值范围是. (7分)

（3）.

构造函数，则问题就是要求恒成立. (9分)

对于求导得 .

令，则，显然是减函数.

当时，，从而函数在上也是减函数.

从而当时，，即，

即函数在区间上是减函数.

当时，对于任意的非零正数，，进而有恒成立，结论得证. (12分)

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国的标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克／立方米以下空气质量为一级；在微克／立方米~微克／立方米之间空气质量为二级；在微克／立方米以上空气质量为超标。

某市环保局从该市市区2013年某月每天的监测数据中随机抽取天的数据作为样本，得到如下茎叶图。

（1）若从这天的数据中随机抽出天，求至多有一天空气超标的概率；

（2）根据这天的日均值来估计当月（按30天计算）的空气质量情况，则该月中平均有多少天的空气质量达到一级或二级？

正确答案

见解析。

解析

（1）由茎叶图可知天中有天空气质量未超标，有天空气质量超标。

记未超标的天为，超标的天为，则从天抽取天的所有情况为

基本事件的总数为。

记“至多有一天空气超标”为事件，则“两天都超标”为事件，则（2）天中空气质量达到一级或二级的频率为，。所有估计该月中有20天的空气质量达到一级或二级。

知识点

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