导数的运算
共307题

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导数的运算
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题型：填空题

填空题 · 4 分

若函数（）的图像过定点,点在曲线上运动,则线段中点轨迹方程是。

正确答案

解析

略

知识点

导数的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知斜率为2的直线过抛物线的焦点F，且与轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为

C或

D或

正确答案

解析

抛物线的焦点坐标是，直线的方程是，令，得，故，所以△OAF的面积为，由题意，得，解得，故抛物线方程是或，故选D。

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，

（1）若，求的值；

（2）设，求在区间上的最大值和最小值.

正确答案

（1）（2）

解析

解析：

（1）因为，

则，所以 . ………3分

平方得，=， ………5分

所以 . ………7分

（2）因为=

= ………9分

=. ………11分

当时，. ………12分

所以，当时，的最大值为； ………13分

当时，的最小值为. ………14分

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知函数是定义域为的偶函数，且对，恒有，又当时，。

（1）当时，求的解析：析式；

（2）求证：函数是以为周期的周期函数；

（3）解析：答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可(无需写解析：题步骤)，注意：考生若选择多于一个问题解析：答，则按分数最低一个问题的解析：答正确与否给分。

① 当时，求的解析：析式。(4分)

② 当(其中是给定的正整数)时，若函数的图像与函数的图像有且仅有两个公共点，求实数的取值范围。(6分)

③ 当(是给定的正整数且)时，求的解析：析式。(8分)

正确答案

见解析

解析

（1）∵是上的偶函数，且时，，

又当时，，有，∴。5分

（2）证明∵对于，恒有，

∴，即。7分

又∵是偶函数，

∴，即是周期函数，且就是它的一个周期。10分

（3）依据选择解析：答的问题评分

①。 14分　 ② 。16分

③ 　　　　　　　 18分

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 16 分

某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻(时) 的关系为，其中是与气象有关的参数，且。

（1）令, ，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；

（2）若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作，求；

（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染

指数是否超标？

正确答案

见解析

解析

解析：（1）单调递增区间为；单调递减区间为。

证明：任取，，

，所以。

所以函数在上为增函数。（同理可证在区间单调递减）

（2）由函数的单调性知，

∴，即的取值范围是。

当时，记

则

∵在上单调递减，在上单调递增，

且。

故.

（3）因为当且仅当时，.

故当时不超标，当时超标。

知识点

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