由其它方法求数列的通项公式_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 4 分

5．南宋孝宗淳熙二年（1175），朱（朱熹）陆（陆九渊）“鹅湖之会”开启了“朱陆异同”的争辩，其共同主旨包括：（）

①道问学

②植纲常

③扶名教

④宗孔孟

A①③④

B②③④

C①②③

D①②④

正确答案

B

解析

此题是比较型选择题。根据所学知识，我们知道朱熹陆象山都是南宋同时代的理学家，他们哲学核心都是“理”，在朱为“性”，在陆为“心”，派生万物，或统一万物，因而都是精神第一性，物质第二性，颠倒了哲学的根本问题。他们夸大了“精神”的绝对作用，实质上成了“虚构的神学”，把人们引向僧侣主义。他们在政治上都是同植纲常，同扶名教，同宗孔孟，同为中国封建专制政权服务。所以正确答案选择B项。道问学是朱熹的观点，属于二者的分歧，故应排除。

考查方向

陆王心学与程朱理学的比较

解题思路

此题是比较型选择题。根据所学知识，我们知道朱熹陆象山都是南宋同时代的理学家，他们哲学核心都是“理”，在朱为“性”，在陆为“心”，派生万物，或统一万物，因而都是精神第一性，物质第二性，颠倒了哲学的根本问题。他们夸大了“精神”的绝对作用，实质上成了“虚构的神学”，把人们引向僧侣主义。他们在政治上都是同植纲常，同扶名教，同宗孔孟，同为中国封建专制政权服务。所以正确答案选择B项。二者的区别主要表现在一下方面：在认识论上——朱熹主张“性即是理”，陆象山主张“心即是理”。在方法论上——朱熹主张“道问学”，从外而内，陆象山主张“尊德性”，从内而外。在宇宙观上——朱熹坚持“无极而太极”；陆象山则认为“易有太极”，“太极”之上不能加“无极”二字。在历史观上——朱熹主张“陶铸历史，会归一理的纯粹”；陆象山则认为：“先王之泽竭，此心放失陷溺而然也。”

易错点

此题出错点在于概念混淆而出错。

知识点

由其它方法求数列的通项公式

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知数列满足，且

成等差数列.

22. 求q的值和的通项公式；

23. 设，求数列的前n项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(I) ;

解析

(I) 由已知，有，即，

所以，又因为，故，由，得，

当时，，

所以的通项公式为

考查方向

1.等差中项定义；

解题思路

(I)由得先求出，分为奇数与偶数讨论即可；

易错点

不会讨论来解答。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(II) .

解析

（II）解：由（I）得.设的前n项和为，则

，

上述两式相减，得

，

整理得，.

所以，数列的前n项和为，.

考查方向

1.等比数列及前项和公式.2.错位相减法.

解题思路

(II)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.

易错点

没有掌握求和方法。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.

17.求数列{an}的通项公式；

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用Sn和an的关系求数列的通项；数列与不等式；

解题思路

第1问，根据Sn和an的关系判断出数列为等差数列，根据等比数列通项公式求通项，第2问结合第1问得到的结论，得到Bn的通项，进而求出bn的前n项和。

易错点

求数列通项公式错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用Sn和an的关系求数列的通项；数列与不等式；

解题思路

第1问，根据Sn和an的关系判断出数列为等差数列，根据等比数列通项公式求通项，第2问结合第1问得到的结论，得到Bn的通项，进而求出bn的前n项和。

易错点

求数列通项公式错误

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设数列的前项和，且成等差数列.

16.求数列的通项公式；

17.记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由已知，有，

即.

从而.

又因为成等差数列，即.

所以，解得.

所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.

故.

考查方向

本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.

解题思路

利用及题设可得与的关系为，所以这是一个公比为2的等比数列.再利用成等差数列，可求得，从而得通项公式.

易错点

不会根据Sn＝2an－a3求出an＝2an－1(n≥2)；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

10.

解析

由(1)得，

所以，

由，得，即

因为

所以，

于是，使成立的n的最小值为10.

考查方向

本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.

解题思路

由（1）得，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前n项和公式，可求得，代入，即可得使成立的n的最小值.

易错点

求前n项和时对于项数出错。

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知正项数列的前项和为，且 .

22.求的值及数列的通项公式；

23.是否存在非零整数，使不等式

对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

解：由.

当时，，解得或（舍去）． ……2分

当时，

由，……………4分

∵，∴，则，……………5分

∴是首项为2，公差为2的等差数列，故．……………6分

另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．

考查方向

数列通项的求法；数列与不等式、三角函数综合应用.

解题思路

利用数列前项和与通项的关系求解；注意第1项的讨论；

另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．

易错点

利用数列前项和与通项的关系求通项的第1项的讨论；数列与不等式关系的综合讨论

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在满足条件,理由：见解析.

解析

由，得，……………7分

设，则不等式等价于.……………8分

，……10分

∵，∴，数列单调递增. ……………… 11分

假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则

① 当为奇数时，得； ……11分……………12分

② 当为偶数时，得，即. ……13分

综上，，由是非零整数，知存在满足条件．…… 14分

考查方向

数列通项的求法；数列与不等式、三角函数综合应用.

解题思路

先进行化简转化=cos(n+1)=，然后再分析法，将不等的另一侧构造一个新数列，证明{}是单调数列，再结合n进行讨论，利用函数的恒成立问题求解

易错点

利用数列前项和与通项的关系求通项的第1项的讨论；数列与不等式关系的综合讨论

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解题思路

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