热门试卷

解法一：

（1）连接BD,取DC的中点G，连接BG,

由此知 即为直角三角形，故.

又,

所以，.

作，

故与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直

DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB

所以，SE=2EB

（2）由知

.

故为等腰三角形。

取中点F,连接,则.

连接，则.

所以，是二面角的平面角。

连接AG,AG=,,

,

所以，二面角的大小为120°。

解法二：

以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，

设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)

（1）

设平面SBC的法向量为=(a,b,c)

由，得

故2b-2c=0,-a+b=0

令a=1，则b=c,c=1,=(1,1,1)

又设   ，则

设平面CDE的法向量=(x,y,z)

由,得，

故             .

令，则.

由平面DEC⊥平面SBC得⊥,

故SE=2EB

（2）由（1）知，取DE的中点F，则，

故，由此得

又，故，由此得，

向量与的夹角等于二面角的平面角

于是     

所以，二面角的大小为

（1）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC

∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，

由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，

由三垂线定理可得AC1⊥A1B；

（2）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，

∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，

作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，

又直线AA1∥平面BCC1B1，

∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，

∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，

作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，

由三垂线定理可得A1F⊥AB，

∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，

由AD==1可知D为AC中点，

∴DF==，

∴tan∠A1FD==，

∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan

（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，

由=2，得|DF1|==c，

从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1。

从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，

因此|DF2|=，

所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，

因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；

（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，

y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，

由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，

由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0。

当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；

当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C。

由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，

故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=。

∵，∴。

∵，∴。

∴矩阵的特征多项式为。

令，解得矩阵的特征值。