空间向量的夹角及其表示
共66题

· 空间向量的夹角及其表示

空间向量的夹角及其表示
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题型：填空题

填空题

已知空间直角坐标系中三点A（0，1，0），M（，1，0），N（0，3，），O为坐标原点，则直线OA与MN所成角的余弦值为______．

正确答案

解析

解：=（0，1，0），=（-，2，），

∴•=0×（-）+1×2+0×=2，

||=1，||==2；

∴cos＜，＞===，

即直线OA与MN所成角的余弦值为．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知空间三点A（0，2，3），B （-2，1，6），C（1，-1，5）

（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形面积

（2）求平面ABC一个法向量

（3）若向量分别与垂直，且求的坐标．

正确答案

解：（1），=（1，-3，2），

===，

S平行四边形ABCD=

=×=7．

（2）设平面ABC的一个法向量为，由，可得，

取=（1，1，1）．

（3）∵，，

∴∥，

设=λ（1，1，1），

∵，解得λ=±1，

∴=±（1，1，1）．

解析

解：（1），=（1，-3，2），

===，

S平行四边形ABCD=

=×=7．

（2）设平面ABC的一个法向量为，由，可得，

取=（1，1，1）．

（3）∵，，

∴∥，

设=λ（1，1，1），

∵，解得λ=±1，

∴=±（1，1，1）．

题型：单选题

单选题

若A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），则||的取值范围是（　　）

A[0，5]

B[1，5]

C（1，5）

D（0，5）

正确答案

解析

解：根据两点的距离公式，可得

||=

=，

∵-1≤cos（α-θ）≤1，

∴当cos（α-θ）=-1时，||达最大值为5；当cos（α-θ）=1时，||达最小值为1

因此，||的取值范围是[1，5]．

故选：B

题型：单选题

单选题

已知=（3，-2，-3），=（-1，x-1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　）

A（-2，+∞）

B（-2，）∪（，+∞）

C（-∞，-2）

D（，+∞）

正确答案

解析

解：∵与的夹角为钝角，

∴cos＜，＞＜0．且与不共线

∴•＜0．且（3，-2，-3）≠λ（-1，x-1，1）

∴-3-2（x-1）-3＜0．且x≠

∴x的取值范围是（-2，）∪（，+∞）．

故选B．

题型：填空题

填空题

（理）下列四个结论中，所有正确结论的序号是______；

①在一条长为2的线段上任取两点，则这两点到线段中点的距离的平方和大于1的概率为；

②若直线kx-y+1=0与椭圆x2+=1恒有公共点，则a的取值范围为a＞1；

③若向量=(1，x，3)与=(x，4，6)的夹角为锐角，则x的取值范围为x＞-；

④若动点M到定点（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，则动点M的轨迹是抛物线．

正确答案

在一条长为2的线段上任取两点，则这两点到线段中点的距离的平方和大于1的概率为；

由几何概型的概率公式知①正确，

若直线kx-y+1=0与椭圆x2+=1恒有公共点，则直线所过的定点一定要在椭圆上或在椭圆的内部，

故a的取值范围为a＞1；故②正确．

若向量=(1，x，3)与=(x，4，6)的夹角为锐角，则x的取值范围为x＞-，

还要减去两个向量共线的情况，故③不正确．

若动点M到定点（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，则动点M到定点（1，0）的距离和它到x=-1的距离相等，

得到动点M的轨迹是抛物线，故④正确．

综上可知有①②④三个说法是正确的．

故答案为：①②④

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