空间向量的夹角及其表示
共66题

· 空间向量的夹角及其表示

空间向量的夹角及其表示
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题型：简答题

简答题

直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=a，∠BCA=90°，AA1=2a，M，N分别是A1B1、AA1的中点．

（I）求BN的长；

（II）求BA1，CB1夹角的余弦值．

正确答案

以C为原点建立空间直角坐标系

（I）B（0，a，0），N（a，0，a），

∴||==a．…（4分）

（II）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），

∴=（a，-a，2a），=（0，a，2a），

∴•=a×0+（-a）×a+2a×2a=3a2，…（8分）

||==a，

∴cos＜，＞===．…（14分）

题型：填空题

填空题

在空间直角坐标系中，已知A（1，-2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且满足|PA|=|PB|，则点P的坐标为______．

正确答案

∵点P在z轴上，

∴可设点P（0，0，z）

又∵A（1，-2，1），B（2，2，2），且|PA|=|PB|，

∴=

解之得z=3，所以点P坐标为（0，0，3）

故答案为：（0，0，3）

题型：简答题

简答题

已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．

（Ⅰ）求以AB、AC为边的平行四边形的面积；

（Ⅱ）若向量分别与、垂直，且|a|=，求的坐标．

正确答案

（Ⅰ）=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)，||=，||=

cos∠BAC==，∴∠BAC=60°…（4分）

∴S=2×××sin60°=7…（6分）

（Ⅱ）设=（x，y，z），∵⊥，⊥，且||=…（8分）

∴，解得或…（11分）

∴=（1，1，1）或=（-1，-1，-1）…（12分）

题型：填空题

填空题

已知点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3），则△ABC中的∠BAC的大小是______．

正确答案

∵=(6，-2，-3)，=(-2，3，-6)，

∴•=6×（-2）+-2×3+（-3）×（-6）=0，

∴⊥，

∴∠BAC=90°．

故答案为90°．

题型：简答题

简答题

已知向量=（1，-3，2）和=（-2，1，1），点A（-3，-1，4），B（-2，-2，2）．

（1）求|2+|；

（2）在直线AB上是否存在一点E，使⊥（O为原点），若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）∵2+=2（1，-3，2）+（-2，1，1）=（0，-5，5），∴|2+|==5；

（2）假设在直线AB上存在一点E，使⊥（O为原点），则存在实数λ，使得=λ，

∴=+λ=（-3，-1，4）+λ（1，-1，-2）=（-3+λ，-1-λ，4-2λ），

∴•=-2（-3+λ）+（-1-λ）+（4-2λ）=0，解得λ=．

∴=(-，-，)，即E(-，-，)．

故在直线AB上存在一点E(-，-，)，使⊥（O为原点）．

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