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题型:简答题
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简答题

已知实数a≠0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R).

(Ⅰ)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线27x+y-8=0平行,求函数f(x)的极值;

(Ⅱ)若对任意x∈[-2,1],不等式f(x)<恒成立,求实数a的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)∵f(x)=ax(x-2)2=ax3-4ax2+4ax,

∴f′(x)=3ax2-8ax+4a=3a(x-)(x-2).

∴f′(1)=-a=-27,得a=27

∴f(x)=27x(x-2)2(x∈R)(2分)

令fn(x)=0得(x-)(x-2)=0,

∴x=或x=2.

又函数f(x)在(-∞,)上为增函数,

在(,2)上为减函数,

在(2,+∞)上为增函数. (4分)

∴f(x)在x=时取得极大值,f()=32.

在x=2时取得极小值f(2)=0;(6分)

(Ⅱ)由f′(x)=3a(x-)(x-2),知

当a>0时,函数f(x)在[-2,]上是增函数,

在[,1]上是减函数.

此时,ymax=f()=a.

又对∀x∈[-2,1],不等式f(x)<恒成立.

a<,得a<

∴0<a<. (9分)

当a<0时,函数f(x)在[-2,]上是减函数,

在[,1]上是增函数.

又f(-2)=-32a,f(1)=a,此时,ymax=f(-2)=-32a.

又对∀x∈[-2,1],不等式f(x)<恒成立.

∴-32a<得a>-,∴-<a<0.

故所求实数的取值范围是(-,0)∪(0,). (12分)

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题型:填空题
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填空题

若曲线f(x)=x4-x+2在点发P处的切线与直线x+3y-1=0垂直,则点P的坐标是______.

正确答案

∵f(x)=x4-x+2,

∴f'(x)=4x3-1,

∵切线与直线x+3y-1=0垂直

∴得切线的斜率为3,所以k=3;

∴4x3-1=3,

∴x=1,

点P的坐标是(1,2).

故答案为:(1,2).

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题型:填空题
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填空题

已知函数f(x)=x3+ax-1(a∈R),其中f'(x)是f(x)的导函数,若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y+1=0平行,则a=______.

正确答案

∵f(x)=x3+ax-1,

∴f'(x)=4x2+a,当x=1时,f'(1)=4+a,得切线的斜率为4+a,所以k=4+a;

所以4+a=2,

∴a=-2.

故答案为:-2.

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题型:填空题
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填空题

平行于直线4x-y-1=0且与曲线y=x3+x-2相切的直线方程是______.

正确答案

曲线y=x3+x-2求导可得 y′=3x2+1

设切点为(a,b)则 3a2+1=4,解得 a=1或a=-1

切点为(1,0)或(-1,-4)

与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x3+x-2相切的

直线方程是:4x-y-4=0和4x-y=0

故答案为:4x-y-4=0和4x-y=0.

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题型:填空题
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填空题

已知曲线y=x2-1在x=x0点处的切线与曲线y=1-x3在x=x0处的切线互相平行,则x0的值为______

正确答案

∵y=x2-1∴y'=2x,

∵y=1-x3∴y'=-3x2

∴2x0=-3x02

解得x0=0或x0=-

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题型:填空题
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填空题

已知函数f(x)=x2+blnx和g(x)=的图象在x=4处的切线互相平行,则b=______.

正确答案

g'(x)=

∴g'(4)=6

∵函数f(x)=x2+blnx和g(x)=的图象在x=4处的切线互相平行

∴f'(4)=6

而f'(x)=2x+,则f'(4)=8+=6

∴b=-8

故答案为:-8

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题型:填空题
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填空题

已知=(6,3),=(-4,-),直线l过点A(3,-1)且与向量+2垂直,则l的一般方程是______.

正确答案

∵由于=(6,3),=(-4,)  而+2=(-2,2),

∵直线l过点A(3,-1)且与向量+2垂直

∴k=1

∴直线l的一般方程是y+1=x-3 即x-y-4=0.

故答案为:x-y-4=0.

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题型:简答题
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简答题

已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求:

(1)若l1⊥l2,求m的值;   

(2)若l1∥l2,求m的值.

正确答案

(1)由两直线垂直的充要条件可得:1•(m-2)+m•3=0,解得m=

故当l1⊥l2时,m=

(2)由平行的条件可得:=

=解得:m=-1或m=3;

而当m=3时,l1与l2重合,不满足题意,舍去,故m=-1.

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题型:简答题
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简答题

已知△ABC三边的方程为:AB:3x-2y+6=0,AC:2x+3y-22=0,BC:3x+4y-m=0.

(1)判断三角形的形状;

(2)当BC边上的高为1时,求m的值.

正确答案

(1)直线AB的斜率为kAB=,直线AC的斜率为kAC=-

所以kAB•kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此,△ABC为直角三角形;

(2)解方程组,得,即A(2,6)

由点到直线的距离公式得d==

当d=1时,=1,即|30-m|=5,解得m=25或35.

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题型:简答题
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简答题

已知O为坐标原点,曲线C上的任意一点P到点F(0,1)的距离与到直线l:y=-1的距离相等,过点F的直线交曲线C于A、B两点,且曲线C在A、B两点处的切线分别为l1、l2

(1)求曲线C的方程;

(2)求证:直线l1、l2互相垂直;

(3)y轴上是否存在一点R,使得直线RF始终平分∠ARB?若存在,求出R点坐标;若不存在,说明理由.

正确答案

(1)∵P到点F(0,1)的距离与到直线l:y=-1的距离相等,

∴曲线C是以F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,其方程为x2=4y

(2)焦点F(0,1),设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2

直线方程与抛物线方程联立得x2-4kx-4=0,

∴x1x2=-4,又y'=x,

∴直线l1的斜率为k1=x1,直线l2的斜率为k2=x2

∴k1k2=•x1x2=-1,即直线l1和l2互相垂直.

(3)假设y轴上存在一点R(0,y0),使得直线RF始终平分∠ARB,则有kAR+kBR=0

+=0

∴x2(y0-y1)+x1(y0-y2)=0∴y0(x2+x1)-(x2y1+x1y2)=0

∴y0(x2+x1)-x1x2( x2+x1)=0

∴y0+1=0∴y0=-1,即存在R(0,-1)满足条件.

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题型:简答题
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简答题

设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0

(1)证明l1与l2相交;

(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.

正确答案

(1)假设两条直线平行,则k1=k2

∴k1•k2+2=k12+2=0无意义,矛盾

所以两直线不平行

故l1与l2相交

(2)由

2x2+y2=

∵k1•k2+2=0

=1

故l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.

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题型:简答题
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简答题

已知直线l1:x+2y+1=0,l2:-2x+y+2=0,它们相交于点A.

(1)判断直线l1和l2是否垂直?请给出理由;

(2)求过点A且与直线l3:3x+y+4=0平行的直线方程.

正确答案

(1)直线l1的斜率k1=-,直线l2的斜率k2=2,

∵k1k2=-×2=-1

∴l1⊥l2

(2)由方程组解得点A坐标为(,-),

直线l3的斜率为-3,所求直线方程为:y-(-)=-3(x-)

化为一般式得:3x+y-1=0.

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题型:简答题
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简答题

已知直线l经过直线6x-y+3=0和3x+5y-4=0的交点,且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程.

正确答案

解得

则所求直线l与2x+y-5=0垂直,可设直线l的方程为x-2y+m=0.

把交点的坐标代入得--2×1+m=0,即m=

所求直线l的方程为x-2y+=0.

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题型:简答题
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简答题

已知l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,分别求m的值,使得l1和l2

(1)垂直;

(2)平行;

(3)重合;

(4)相交.

正确答案

若(1)l1和l2垂直,则m-2+3m=0

∴m=

(2)若l1和l2平行,则=

∴m=-1

(3)若l1和l2重合,则==

∴m=3

(4)若l1和l2相交,则由(2)(3)可知m≠3且m≠-1

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题型:简答题
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简答题

已知两直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分别满足下列条件的a,b的值.

(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与l2垂直;

(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.

正确答案

(1)∵l1⊥l2

∴a(a-1)+(-b)•1=0,即a2-a-b=0①

又点(-3,-1)在l1上,

∴-3a+b+4=0②

由①②得a=2,b=2.

(2)∵l1∥l2,∴=1-a,∴b=

故l1和l2的方程可分别表示为:

(a-1)x+y+=0,(a-1)x+y+=0,

又原点到l1与l2的距离相等.

∴4||=||,∴a=2或a=

∴a=2,b=-2或a=,b=2.

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