- 直线与方程
- 共7398题
设两点A（3，1），B（-1，5），直线l通过线段AB的中点C．
（1）若l⊥AB，求直线l的倾斜角的大小；
（2）若l的倾斜角θ满足sinθ=
正确答案
（1）由中点坐标公式可得中点C的坐标为（1，3）
由l⊥AB得，直线l的斜率k=-
故方程为y-3=x-1，化为一般式可得：x-y+2=0．
（2）由sinθ=
又直线过点C（1，3），故方程为y-3=2（x-1），或y-3=-2（x-1）
化为一般式可得：2x-y+1=0或2x+y-5=0．
已知两直线L1：（m+3）x+5y=5-3m，L2：2x+（m+6）y=8，当m为何值时，L1与L2，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直．
正确答案
（1）当m=-6时，直线L1方程为-3x+5y=23，L2方程为x=4，显然两直线相交；
当m≠-6时，由
所以m≠-1，m≠-8时直线L1与L2相交．
（2）由（1）知当m=-6时，直线L1与L2相交；
当m≠-6时，由
所以m=-8时直线L1与L2平行．
（3）由
所以m=-1时直线L1与L2重合．
（4）由 2（m+3）+5（m+6）=0得m=-
所以m=-
已知点A（2，2）和直线l：3x+4y-14=0．
（Ⅰ）求过点A和直线l垂直的直线方程；
（Ⅱ）求点A在直线l上的射影的坐标．
正确答案
（Ⅰ）因为直线l的斜率是-
由题意知所求直线的斜率为
所求直线方程是：y-2=
（Ⅱ）由
解得：
点A在直线l上的射影的坐标是（2，2）．
经过点（0，0）且与直线2x-3y+6=0平行的直线方程是______．
正确答案
设过点（0，0）且与直线2x-3y+6=0平行的直线方程为 y=kx，
∵直线2x-3y+6=0的斜率为
∴k=
∴y=
故答案为2x-3y=0
过点M（2，4）作两条互相垂直的直线，分别交x轴y轴的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．
正确答案
由题意，设A（a，0）、B（0，b）．则直线AB方程为
∵MA⊥MB，∴
∵a＞0，∴0＜b＜5．直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0
∴点M（2，4）到直线AB的距离为d1=
又∵O点到直线AB的距离为d2=
∴d1=d2，∴2b+4a-ab=±ab．
又∵a=10-2b．
解得
∴所求直线为2x+y-4=0或x+2y-5=0．
已知A（-1，1）、B（3，1）、C（1，3），则△ABC的BC边上的高所在直线方程为 ______．
正确答案
BC边上的高所在直线过点A（-1，1），斜率为
y-1=x+1，即 x-y+2=0，
故答案为：x-y+2=0．
（坐标系与参数方程选做题） 已知直线l1：
正确答案
直线l1的方程即 kx+2y-k-4=0，直线l2的方程即 2x+y-1=0．
若l1∥l2，则-2=
故答案为：4；-1．
与直线3x+4y+1=0垂直，且过点（1，2）的直线l的方程为 ______．
正确答案
设所求直线方程为：4x-3y+λ=0，
把点（1，2）代入所求直线方程得，λ=2，
故所求直线的方程为 4x-3y+2=0，
故答案为 4x-3y+2=0．
已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0），求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．
正确答案
设点D的坐标为（x，y），由已知得，直线AB的斜率KAB=3，（2分）
直线CD的斜率KCD=
由CD⊥AB，且CB∥AD，得
所以点D的坐标是（0，1）（12分）
已知点A（3，3）、B（5，2）到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程．
正确答案
解方程组
（1）若A、B在直线L的同侧，则L∥AB，
KAB=
∴直线的方程是：y-2=-
即x+2y-5=0．
（2）若A、B分别在直线L的异侧，则直线L过线段AB的中点（4，
∴直线L的两点式方程是
即x-6y+11=0．
综（1）（2）知直线L的方程是x+2y-5=0或x-6y+11=0．
已知两平行直线ℓ1：ax-by+4=0与ℓ2：（a-1）x+y-2=0．且坐标原点到这两条直线的距离相等．求a，b的值．
正确答案
坐标原点到这两条直线的距离相等且ℓ1∥ℓ2，
∴ℓ1，ℓ2在y轴上的截距互为相反数即 
即有ℓ1：ax+2y+4=0与ℓ2：（a-1）x+y-2=0．
由ℓ1∥ℓ2，且ℓ1，ℓ2斜率存在．∴-
解之得a=2综上：a=2，b=-2．
若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a-1）y+（a2-1）=0平行且不重合，则a的值是______
正确答案
若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a-1）y+（a2-1）=0平行
则a（a-1）-2=0，即a2-a-2=0
解得：a=2，或a=-1
又∵a=2时，l1：x+y+3=0与l2：x+y+3=0重合
故a=-1
故答案为：-1
若直线l1：（m+6）x-4y+5=0与直线l2：2x+（m-5）y+1=0垂直，则m=______．
正确答案
由题意可得两直线的斜率都存在，由斜率之积等于-1可得
故答案为：16．
过点P（-1，3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为______．
正确答案
设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点P（-1，3）的坐标代入得-2+3+c=0，
∴c=-1，
故所求的直线的方程为2x+y-1=0，
故答案为2x+y-1=0．
已知直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-1．
（1）当m为何值时，直线倾斜角为45°？
（2）当m为何值时，直线与x轴平行？
（3）当m为何值时，直线与直线2x-3y=5垂直？
（4）当m为何值时，直线与直线2x-3y=5平行？
正确答案
直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-1，它的斜率k=
（1）直线倾斜角为45°，k=1，k=
（2）直线与x轴平行，k=
（3）直线与直线2x-3y=5垂直，k=
（4）直线与2x-3y=5平行，k=
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