热门试卷

（I）由题意得，g′（x）=ax2+x，

∵在点（1，g（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，

∴在点（1，g（1））处的切线斜率为-，即g′（1）=a+1=-，

解得a=-，

（II）由（I）得，f（x）=g′（x）ex=（ax2+x）ex，

则f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=[ax2+（2a+1）x+1]ex，

∵f（x）在[-1，1]上是单调增函数，

∴f′（x）=[ax2+（2a+1）x+1]ex≥0在[-1，1]上恒成立，

即ax2+（2a+1）x+1≥0在[-1，1]上恒成立，

①当a=0时，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，

当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；（6分）

②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，

因为△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1＞x2，

因此f（x）有极大值又有极小值．

若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．

若a＜0，可知x1＞0＞x2，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，

因为g（0）=1＞0，必须满足，即，得-≤a＜0，

综上可知，a的取值范围是[-，0]，

（III）当a=0时，方程即为xex=x+2，由于ex＞0，所以x=0不是方程的解，

所以原方程等价于ex--1=0，令h（x）=ex--1，

因为h′（x）=ex+＞0对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，

所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，（13分）

又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，h（-3）=e-3-＜0，h（-2）=e-2＞0，

所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，

所以整数k的所有值为{-3，1}．

解：（I）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）

由题意可得，kAP==，

由导数的几何意义可得，kAP=2x1，

∴=2x1，

整理可得，

同理可得﹣1=0，

从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，

∴x=a±，k1=，k2=，

∴k1·k2==﹣4，

即k1·k2为定值﹣4．

（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由于y'=2x，

故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），

则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）

∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2，

则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．

（Ⅲ）即A（a，0）点到PQ的距离，

要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，

而A到直线PQ的距离d===≥，

当且仅当，

即a2=时取等号，

∴最小值为．

（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c），

∵f′（x）=3ax2+2bx+c，

∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，

∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a-c）=ac-c2＞0，

∴a≠0，c≠0，

∴-()2＞0，

所以0＜＜1．

（2）令f′（x）=3ax2+2bx+c=0，则x1+x2=-，x1x2=，

∴k==

=

=a（x22+x2x1+x12）+b（x2+x1）+c

=a[(x2+x1)2-x2x1]+b（x2+x1）+c

=a（-）+b（-）+c

=a[（-）+（-）+]

=（-+），

令t=，由b=-（a+c）得，=-1-t，t∈（0，1），

则k=[-（1+t）2+3t]=（-t2+t-1），

∵a＞0，-t2+t-1∈（-1，-]，∴k∈（-，-]．

（1）因f/(x)=，

而函数f(x)=在x=1处取得极值2，

所以⇒⇒

所以f(x)=；

（2）由（1）知f/(x)==，

如图，f（x）的单调增区间是[-1，1]，

所以，⇒-1＜m≤0，

所以当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：k=f/(x0)==4×=4[-]

令t=，则t∈（0，1]，此时，k=8(t2-t)=8(t-)2-

根据二次函数k=8(t-)2-的图象性质知：

当t=时，kmin=-，当t=1时，kmax=4

所以，直线l的斜率k的取值范围是[- ， 4 ]．

（1）过P作x轴垂线且垂足为N，由题意可知|PM|-|PN|=

而y≥0，∴|PN|=y，∴=y+

化简得x2=2y（y≥0）为所求的方程．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，

得x2-2kx-2=0，

∴x1+x2=2k，

x1x2=-2|AB|===2，

∴k4+3k2-4=0，

而k2≥0，

∴k2=1，

∴k=±1．

（3）因为Q（x0，y0）在曲线C上，

∴x02=2y0，

∴切点Q(x0，)．

又y=x2求导得y'=x，

∴切线斜率k=x0

则切线方程为y-=x0(x-x0)，

即2x0x-2y-x02=0为所求切线方程，

又x0≤1，

∴切线斜率k≤1，

∴倾斜角取值范围为[0，]∪(，π)．

（Ⅰ）f'（x）=-a=（x＞0）

①若a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）不存在极值．

②若a＞0令f'（x）=0得x=，

当x∈(0，)时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在此区间上单调递增；

当x∈(，+∞)时，f′（x）＜0，此时函数f（x）在此区间上单调递减；

∴f（x）极大值=f()=-lna-1

综上：当a≤0时，f（x）没有极大值，当a＞0时，f（x）极大值=-lna-1．

（Ⅱ）直线l的斜率k==-a+，

∵x0∈（1，e），

依题意有f'（x0）=-a+即-a=-a+

得x0=e-1∈（1，e），

故x0=e-1

（Ⅲ）①f'（x0）=或()

由以上结论得：对区间[0，x]存在x1∈[0，x]使g'（x1）=

同样对区间[x，1]存在x2∈[x，1]使g'（x2）==

依题意得：g'（x1）＞g'（x2）即＞

化简得g（x）＞g（0）（1-x）成立．

（Ⅰ）设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）

∵其图象关于原点对称，即f（-x）=-f（x）

得-ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d

∴b=d=0，

则有f（x）=ax3+cx

由f′（x）=3ax2+c，依题意得f′（）=0

∴a+c=0①

f（）=a+c=-1②（5分）

由①②得a=4，c=-3故所求的解析式为：f（x）=4x3-3x．（6分）

（Ⅱ）由f′（x）=12x2-3＞0

解得：x＞或x＜-（8分）

∵（1，+∞）⊂（，+∞）

∴x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；（10分）

设（x1，y1），（x2，y2）是x∈（1，+∞）时，

函数f（x）图象上任意两点，

且x2＞x1，则有y2＞y1∴过这两点的直线的斜率k=＞0．（12分）