热门试卷

（1）由曲线C：x2+y2+2x+m=0可得（x+1）2+y2=1-m，

①当1-m＞0，即m＜1时，曲线C表示的是以C（-1，0）为圆心，r=为半径的圆；

②当1-m=0，即m=1时，曲线C表示的是一个点C（-1，0）；

③当1-m＜0，即m＞1时，曲线C不表示任何图形．

（2）当m=-7时，曲线C化为：（x+1）2+y2=8．

若直线AB⊥x轴，则线段AB为直径，于是|AB|=4与已知|AB|=2矛盾，应舍去，因此直线AB与x轴不垂直．

设直线AB的斜率为k，则方程为y-2=k（x+1），化为kx-y+k+2=0．

由点到直线的距离公式可得圆心C（-1，0）到直线AB的距离d==，

∵|AB|=2，

∴2=2，化为k2=3，∴k=±．

∴tanα=±，又∵α∈[0，π），∴α=或．

（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x-4），

由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），…（1分）

因为点F到直线l的距离为，

所以=，…（3分）

解得k=±，所以直线l的斜率为±．…（5分）

（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

因为AB不垂直于x轴，

则直线MN的斜率为，

直线AB的斜率为，…（7分）

直线AB的方程为y-y0=(x-x0)，…（8分）

联立方程

消去x得(1-)y2-y0y++x0(x0-4)=0，…（10分）

所以y1+y2=，…（11分）

因为N为AB中点，

所以=y0，即=y0，…（13分）

所以x0=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（14分）

（Ⅰ）直线l过定点P（-1，1），KPA=2，KPB=0，要使l满足条件，必须

当a=0时，满足条件；当a≠0时，l的斜率-≥2或-＜0

即a＞0或0＞a≥-，综上得a≥-；

（Ⅱ）M(a-1，0)，N(0，)，依题意有，而S△OMN=-(a+-2)，∵a＜0，∴a+-2≤-4，即S△OMN=-(a+-2)≥2，当a=-1时，面积的最小值为2，此时直线的方程为x-y+2=0．

如图．易知当AB的连线与已知直线垂直时，AB的长度最短．

直线2x-y+3=0的斜率k=2，

∴AB的斜率KAB=-

AB的斜率的方程为：

y+5=-（x-2），⇒x+2y+8=0，

⇒，

B的坐标为(-，-)．

（1）由，得P（2，1），

双曲线-y2=1的渐近线方程是x-2y=0和x+2y=0，

点P（2，1）到两条渐近线x-2y=0和x+2y=0的距离分别是

d1=和d2=，

∴点P到双曲线两条渐近线的距离之积

d1d2==．

（2）设直线PA斜率为k，则PA的方程为：y-1=k（x-2），

即kx-y+1-2k=0，

由，消去y，并整理，得（1-2k2）x2+（8k2-4k）x+8k-8k2-4=0，

∵直线PA与双曲线-y2=1有两个交点，

∴△=（8k2-4k）2-4（1-2k2）（8k-8k2-4）＞0，

即k2-2k+1＞0，

∴k≠1．

故k的取值范围是（-∞，1）∪（1，+∞）．

（3）∵P（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵PA和PB是两条倾斜角互补且不重合的直线，

设PA斜率是m，则PB斜率是-m

则PA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，

分别与双曲线方程联立，得

-(mx1-2m+1)2=1，

（1-2m2）x12+（8m2-4m）x1+8m-8m2-4=0，

∵2是方程的一个根，

∴x1=-2，

同理，x2=-2，

∴x1-x2=，

∵y1=m(-4)+1，

y2=-m(-4)+1，

∴y1-y2=，

∴kAB===-1．

即直线AB的斜率为定值-1．

（Ⅰ）由题意知，动点P到定点C(，  0)的距离等于到定直线x=-的距离，

所以动点P的轨迹为抛物线，

且=，

P=1．

所以点P的轨迹方程为y2=2x．…（6分）

（Ⅱ）设过点A的直线方程为y=k（x+4）（k≠0）．

联立方程组，

消去x，得y2-y+4k=0．…（8分）

设E（x1，y1）、F（x2，y2），

则y1•y2=8，且y12=2x1，y22=2x2．

∵kA′E=，kA′F=，

∴kA′E+kA′F=+=

=

=．

由y1•y2=8，得kA'E+kA'F=0．…（14分）

（1）∵经过两点A（-m，6），B（1，3m）的直线的斜率为12

∴=12

∴m=-2

（2）∵经过两点A（m，2），B（-m，2m-1）的直线的倾斜角为60°，

∴=tan60°

∴2m-3=-2m

∴m=

（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，

将其代入x2=2py，消去y整理得x2-2pkx-2p2=0（2分）

设A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=-2p2（3分）

将抛物线的方程改写为y=x2，求导得y′=x．

所以过点A的切线l1的斜率是k1=，过点B的切线l2的斜率是k2=，

故k1k2==-2，所以直线l1和l2的斜率之积为定值-2（6分）

（Ⅱ）设M（x，y）．因为直线l1的方程为y-y1=k1（x-x1），即y-=(x-x1)，

同理，直线l2的方程为y-=(x-x2)，

联立这两个方程，消去y得-=(x-x2)-(x-x1)，

整理得(x1-x2)(x-)=0，注意到x1≠x2，所以x=（10分）

此时y=+(x-x1)=+(-x1)==-p（12分）

由（Ⅰ）知，x1+x2=2pk，所以x==pk∈R，

所以点M的轨迹方程是：y=-p．（14分）

∵直线3x-2y+24=0化成斜截式，得y=x+12

∴直线的斜率k=，---------------------------------------------------（4分）

∵对直线3x-2y+24=0令y=0，得x=-8

∴直线交x轴于点（-8，0），可得直线在x轴上截距是-8，-------------------（8分）

∵对直线3x-2y+24=0令x=0，得y=12

∴直线交y轴于点（0，12），可得直线在y轴上的截距为12．-----（13分）

（Ⅰ）由e2=1-=及+=1，

解得a2=4，b2=3，…（1分）

椭圆方程为+=1； …（2分）

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由+=m得

（x1+x2-2，y1+y2-3）=m（1，），

即…（3分）

又+=1，+=1，

两式相减得kAB==-×=-×=-；…（5分）

（Ⅱ）证明：设AB的方程为 y=-x+t，

代入椭圆方程得：x2-tx+t2-3=0，…（6分）

△=3（4-t2），|AB|=×=×，

点P到直线AB的距离为d=，

S△PAB=|2-t|=（-2＜t＜2）． …（8分）

令f（t）=3（2-t）3（2+t），

则f’（t）=-12（2-t）2（t+1），

由f’（t）=0得t=-1或2（舍），

当-2＜t＜-1时，f’（t）＞0，

当-1＜t＜2时f’（t）＜0，

所以当t=-1时，f（t）有最大值81，

即△PAB的面积的最大值是；                 …（10分）

根据韦达定理得 x1+x2=t=-1，

而x1+x2=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，

于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，

因此△PAB的重心坐标为（0，0）．        …（12分）

（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（-1，0），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由已知直线l斜率存在，设l：y=k（x+1）（k≠0），代入y2=4x得，k2x2+（2k2-4）x+k2=0，

由△＞0得-1＜k＜1，，

|AB|=•，h=，

由|AB|h=，得k=±，满足△＞0，

（2）假设存在T（a，0）满足题意，

因为TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，

所以直线TA，TB的斜率之和为0，则

kAT+kBT=+=

==0，

∴k[2x1x2-（a-1）（x1+x2）-2a]=0，即k[2-(a-1)-2a]=0，

整理得：a-1=0，解得a=1，

∴存在T（1，0）．

（1）过点C作直线x=-的垂线，垂足为N，

由题意知：|CF|=|CN|，即动点C到定点F与定直线x=-的距离相等，

由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，

其中F(，0)为焦点，x=-为准线，

所以轨迹方程为y2=2px（p＞0）；       

（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2）

不过点P的直线l方程为y=-x+b，

由得y2+2y0y-2y0b=0，

则y1+y2=-2y0，

kAP+kBP=+

=+

=+

==0．

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），

则kMN===（***）                    

设MP0的直线方程为为y-y0=k（x-x0）与曲线y2=2px的交点P0（x0，y0），M（x1，y1）．

由，y2-y+-2px0=0的两根为y0，y1

则y0+y1=，∴y1=-y0

同理y0′+y2=，得y2=--y0′

∴y1+y2=-(y0+y0′)，

代入（***）计算得kMN=-．是定值，命题得证

（1）m=1时，抛物线C1：y2=4x，焦点为F2 （1，0）． 由于椭圆离心率e=，c=1，

故 a=2，b=，故所求的椭圆方程为  +=1．

（2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，设直线L的斜率为k，则直线L的方程为 y-0=k（x-2），

代入抛物线C1：y2=4x 化简得 k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，∴x1+x2= 4+，x1x2=4，

∴|A1A2|=•= =6，解得  K=±．

（3）假设存在实数m，△PF1F2的边长是连续自然数，经分析在△PF1F2中|PF1|最长，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m，

则|PF1|=2m+1，|PF2|=2m-1． 由抛物线的定义可得|PF2|=2m-1=xP-（-m），∴xP=m-1．

把P(m-1，)代入椭圆+=1，解得m=3．故存在实数m=3 满足条件．

（Ⅰ）∵f(x)=x2-2x2+ax，

∴f/（x）=x2-4x+a．（2分）

∵在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，

∴x2-4x+a=-1有且只有一个实数根．

∴△=16-4（a+1）=0，

∴a=3．（4分）

∴x=2，f(2)=．

∴切线l：y-=-(x-2)，即3x+3y-8=0．（7分）

（Ⅱ）∵f/（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1．（9分）

∴tanθ≥-1，（10分）

∵θ∈[0，π），

∴θ∈[0，)∪[，π)（13分）