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题型:简答题
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简答题

(理科做:)已知A(1,1)是椭圆+=1  (a>b>0)上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.

(I)求两焦点的坐标;

(II)设点C、D是椭圆上的两点,直线AC、AD的倾斜角互补,直线CD的斜率是否为定值?若是定值,求出其值;若不是定值,则说明理由.

正确答案

(I)∵|AF1|+|AF2|=4,

∴2a=4,∴a=2,

设椭圆方程为+=1,

把(1,1)代入,得+=1,

∴b2=

∴c2=4-=

∴两焦点的坐标F1(-,0),F2(,0).

(II)设AC:y=k(x-1)+1,

联立

得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0,

∵A(1,1)在椭圆上,方程有一个根为xA=1,

∴xC=

∵AC与AD的倾斜角互补,

∴AD为:y=-k(x-1)+1,

同理,xD=

∵yC=k(xC-1)+1,

yD=-k(xD-1)+1,

yC-yD=k(xC+xD)-2k,

∴kCD==

故CD的斜率为定值

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题型:填空题
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填空题

已知直线AB与直线AC有相同的斜率,且A(1,0),B(2,a),C(a,1),则实数a的值是______.

正确答案

∵直线AB与直线AC有相同的斜率

=

解得:a=

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0,底边所在直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求该腰所在直线l3的方程.

正确答案

设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,l1到l2的角是θ1,l2到l3的角是θ2

则k1=,k2=-1,tanθ1===-3.

∵l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形,∴θ12,tanθ1=tanθ2=-3,

=-3,=-3,解得k3=2.   又∵直线l3经过点(-2,0),

∴直线l3的方程为y=2(x+2),即2x-y+4=0.

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题型:简答题
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简答题

证明:过抛物线y=a(x-x1)•(x-x2)(a≠0,x1<x2)上两点A(x1,0)、B(x2,0)的切线,与x轴所成的锐角相等.

正确答案

y′=2ax-a(x1+x2),

y′|_x=x1=a(x1-x2),即kA=a(x1-x2),

y′|_x=x2=a(x2-x1),即kB=a(x2-x1).

设两条切线与x轴所成的锐角为α、β,

则tanα=|kA|=|a(x1-x2)|,

tanβ=|kB|=|a(x2-x1)|,

故tanα=tanβ.

又α、β是锐角,则α=β.

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题型:简答题
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简答题

已知曲线C:xy=1,过C上一点A1(x1,y1)作斜率k1的直线,交曲线C于另一点A2(x2,y2),再过A2(x2,y2)作斜率为k2的直线,交曲线C于另一点A3(x3,y3),…,过An(xn,yn)作斜率为kn的直线,交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1)…,其中x1=1,kn=-(x∈N*)

(1)求xn+1与xn的关系式;

(2)判断xn与2的大小关系,并证明你的结论;

(3)求证:|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|<2.

正确答案

(1)由已知过An(xn,yn)斜率为-的直线为y-yn=-(x-xn),

直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1

所以yn+1-yn=-(xn+1-xn)(2分)

-=-(xn+1-xn),xn+1-xn≠0,

所以xn+1=(n∈N*)(4分)

(2)当n为奇数时,xn<2;当n为偶数时,xn>2(5分)

因为xn-2=-2=-,(6分)

注意到xn>0,所以xn-2与xn-1-2异号

由于x1=1<2,所以x2>2,以此类推,

当n=2k-1(k∈N*)时,xn<2;

当n=2k(k∈N*)时,xn>2(8分)

(3)由于xn>0,xn+1==1+

所以xn≥1(n=1,2,3,)(9分)

所以|xn+1-2|=||=|xn-2|(10分)

所以|xn-2|≤|xn-1-2|≤|xn-2-2|≤…≤|x1-2|=(12分)

所以|x1-2|+|x2+2|+…+|xn-2|≤1++(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=2-()n-1<2(14分)

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题型:简答题
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简答题

如图所示,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,l与抛物线C相交于另一点Q,当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ的中点M的轨迹方程,并求点M到x轴的最短距离.

正确答案

设P(x0,y0),则y0=x02

∴过点P的切线斜率k=x0

当x0=0时不合题意,∴x0≠0.

∴直线l的斜率kl=-=-

∴直线l的方程为y-x02=-(x-x0).

此式与y=x2联立消去y得

x2+x-x02-2=0

设Q(x1,y1),M(x,y).

∵M是PQ的中点,

消去x0,得y=x2++1(x≠0)就是所求的轨迹方程.

由x≠0知x2>0,

∴y=x2++1≥2+1=+1

上式等号仅当x2=,即x=±时成立,

所以点M到x轴的最短距离是+1.

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题型:简答题
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简答题

已知A1,A2为双曲线C:-y2=1的左右两个顶点,一条动弦垂直于x轴,且与双曲线交于P,Q(P点位于x轴的上方),直线A1P与直线A2Q相交于点M,

(1)求出动点M(2)的轨迹方程

(2)设点N(-2,0),过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A,B两点,且满足,其中λ∈[],求出直线AB斜率的取值范围.

正确答案

(1)设P(x0,y0),Q(x0,-y0),A1(-,0),A2(,0)

直线A1P的方程为:=,(1)

直线A2Q的方程为:=,(2)

将(1)×(2)得到:=,又因为-y02=1.

所以得到M的轨迹方程为:+y2=1,(y≠0)

(2),∴A,B,N三点共线,而点N的坐标为(-2,0).

设直线AB的方程为y=k(x+2),其中k为直线AB的斜率,依条件知k≠0.

消去x得(y-2)2+2 y2=2,即y2-y+2=0

根据条件可知解得0<|k|<(5分)

设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据韦达定理,得

又由得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2

从而消去y2=消去

令∅(λ)=,λ∈[]则∅(λ)=1-  =

由于≤λ≤所以∅(λ)是区间[]上的减函数,

从而∅()≤∅(λ)≤∅(),即≤∅(λ)≤

≤  ,∴解得≤|k|≤

而0<k<,∴≤k≤

因此直线AB的斜率的取值范围是[]

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题型:简答题
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简答题

试求三直线ax+y+1=0,x+ay+1=0,x+y+a=0构成三角形的条件.

正确答案

任二直线都相交,则且 ≠1,∴a≠±1.

由于三直线不共点,故  的交点不在ax+y+1=0上,即a(-1-a)+1+1≠0,即 a2+a-2≠0,即(a+2)(a-1)≠0,

解得 a≠-2,且 a≠1.

综合上述结果,此三直线构成三角形的条件是a≠±1,且a≠-2.

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题型:简答题
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简答题

如图,边长为2的正六边形ABCDEF的中心在原点,点F、C在x轴上.

(1)求CD边所在的直线方程;

(2)若直线l与边CD相交,且平分该六边形的面积,求直线l的斜率的取值范围.

正确答案

(1)由题意知C(2,0),D(1,),用两点式写出CD边所在的直线方程 =

x+y-2=0.

(2)直线l过正六边形的中心,当直线l与边CD相交与点C时,直线l与x轴重合,斜率最小等于0,

当直线l与边CD相交与点D时,直线l即直线AD,方程即  y=x,斜率最大等于

故斜率的取值范围为[0,].

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题型:简答题
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简答题

求过点P(2,3)且满足下列条件的直线方程:

(1)倾斜角等于直线x-3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程;

(2)在两坐标轴上截距相等的直线方程.

正确答案

(1)设已知直线的倾斜角为α,由题可知tanα=

则所求直线的斜率k=tan2α===

所以直线l的方程为y-3=(x-2),化简得:3x-4y+6=0;

(2)当直线过原点时设直线方程为y=kx,把(2,3)代入求出k=,所以直线l的方程为:y=x

当直线不过原点时,设直线方程为+=1,把(2,3)代入方程得:+=1,解得A=5,所以直线l的方程为:+=1.

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题型:简答题
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简答题

已知双曲线的中心为原点,左、右焦点分别为,离心率为,点是直线上任意一点,点在双曲线上,且满足.

(1)求实数的值;

(2)证明:直线与直线的斜率之积是定值;

(3)若点的纵坐标为,过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点,在线段上去异于点的点,满足,证明点恒在一条定直线上.

正确答案

(1);(2)详见解析;(3)详见解析.

试题分析:(1)根据双曲线的离心率列方程求出实数的值;(2)设点的坐标为,点的坐标为,利用条件确定之间的关系,再结合点在双曲线上这一条件,以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值;(3)证法一是先设点的坐标分别为,结合(2)得到,引入参数,利用转化为相应的条件,利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式,进而证明点恒在定直线上;证法二是设直线的方程为,将直线的方程与双曲线的方程联立,结合韦达定理,将条件进行等价转化为,结合韦达定理化简为,最后利用点在直线上得到,从而消去得到

,进而证明点恒在定直线上.

试题解析:(1)根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为,由于,解得

故双曲线的方程为

(2)设点的坐标为,点的坐标为,易知点

,因此点的坐标为

故直线的斜率,直线的斜率为

因此直线与直线的斜率之积为

由于点在双曲线上,所以,所以

于是有

(定值);

(3)证法一:设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点,由(2)知,

,则,即

整理得

由①③,②④得,

,代入⑥得,⑦,

将⑦代入⑤得,即点恒在定直线上;

证法二:依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为

消去

因为直线与双曲线的右支交于不同的两点

则有

设点,由,得

整理得

将②③代入上式得

整理得,④

因为点在直线上,所以,⑤

联立④⑤消去,所以点恒在定直线.

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题型:填空题
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填空题

已知点A(2,3),B(-5,2),若直线l过点P(-1,6),且与线段AB相交,则该直线倾斜角的取值范围是______.

正确答案

直线PA的斜率k==-1,倾斜角等于135°

直线PB的斜率k′==1,倾斜角等于45°

结合图象由条件可得 直线l的倾斜角α的取值范围是 0°≤α≤45°,或 135°≤α<180°,

故答案为:0°≤α≤45°,或 135°≤α<180°

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题型:填空题
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填空题

直线2x+2y+=0的倾斜角是______.

正确答案

设直线的倾斜角为θ,则其斜率k=tanθ

∵直线2x+2y+=0的斜率为k=-1

∴tanθ=-1,

∵θ∈[0,π)

∴θ=

故答案为

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题型:简答题
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简答题

已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;

(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.

正确答案

(1)直线l的方程可化为:y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,

要使直线l不经过第四象限,则,解得k的取值范围是:k≥0…(5分)

(2)依题意,直线l在x轴上的截距为:-,在y轴上的截距为1+2k,

∴A(-,0),B(0,1+2k),又-<0且1+2k>0,

∴k>0,故S=|OA||OB|=×(1+2k)=(4k++4)≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时取等号,

故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0…(10分)

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题型:填空题
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填空题

已知直线y=x+1,y=-x+1,y=-2x+1的倾斜角分别为α1,α2,α3,则α1,α2,α3从小到大的排列顺序为______.

正确答案

由题设知tanα1=1,

tangα2=-1,

tanα3=-2,

∴α1<α3<α2

故答案为:α1<α3<α2

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