- 直线与方程
- 共7398题
(理科做:)已知A(1,1)是椭圆+
=1 (a>b>0)上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.
(I)求两焦点的坐标;
(II)设点C、D是椭圆上的两点,直线AC、AD的倾斜角互补,直线CD的斜率是否为定值?若是定值,求出其值;若不是定值,则说明理由.
正确答案
(I)∵|AF1|+|AF2|=4,
∴2a=4,∴a=2,
设椭圆方程为+
=1,
把(1,1)代入,得+
=1,
∴b2=,
∴c2=4-=
,
∴两焦点的坐标F1(-,0),F2(
,0).
(II)设AC:y=k(x-1)+1,
联立,
得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0,
∵A(1,1)在椭圆上,方程有一个根为xA=1,
∴xC=,
∵AC与AD的倾斜角互补,
∴AD为:y=-k(x-1)+1,
同理,xD=,
∵yC=k(xC-1)+1,
yD=-k(xD-1)+1,
yC-yD=k(xC+xD)-2k,
∴kCD==
.
故CD的斜率为定值.
已知直线AB与直线AC有相同的斜率,且A(1,0),B(2,a),C(a,1),则实数a的值是______.
正确答案
∵直线AB与直线AC有相同的斜率
∴=
解得:a=
故答案为:.
等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0,底边所在直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求该腰所在直线l3的方程.
正确答案
设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,l1到l2的角是θ1,l2到l3的角是θ2,
则k1=,k2=-1,tanθ1=
=
=-3.
∵l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形,∴θ1=θ2,tanθ1=tanθ2=-3,
即=-3,
=-3,解得k3=2. 又∵直线l3经过点(-2,0),
∴直线l3的方程为y=2(x+2),即2x-y+4=0.
证明:过抛物线y=a(x-x1)•(x-x2)(a≠0,x1<x2)上两点A(x1,0)、B(x2,0)的切线,与x轴所成的锐角相等.
正确答案
y′=2ax-a(x1+x2),
y′|_x=x1=a(x1-x2),即kA=a(x1-x2),
y′|_x=x2=a(x2-x1),即kB=a(x2-x1).
设两条切线与x轴所成的锐角为α、β,
则tanα=|kA|=|a(x1-x2)|,
tanβ=|kB|=|a(x2-x1)|,
故tanα=tanβ.
又α、β是锐角,则α=β.
已知曲线C:xy=1,过C上一点A1(x1,y1)作斜率k1的直线,交曲线C于另一点A2(x2,y2),再过A2(x2,y2)作斜率为k2的直线,交曲线C于另一点A3(x3,y3),…,过An(xn,yn)作斜率为kn的直线,交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1)…,其中x1=1,kn=-(x∈N*)
(1)求xn+1与xn的关系式;
(2)判断xn与2的大小关系,并证明你的结论;
(3)求证:|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|<2.
正确答案
(1)由已知过An(xn,yn)斜率为-的直线为y-yn=-
(x-xn),
直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1)
所以yn+1-yn=-(xn+1-xn)(2分)
即-
=-
(xn+1-xn),xn+1-xn≠0,
所以xn+1=(n∈N*)(4分)
(2)当n为奇数时,xn<2;当n为偶数时,xn>2(5分)
因为xn-2=-2=-
,(6分)
注意到xn>0,所以xn-2与xn-1-2异号
由于x1=1<2,所以x2>2,以此类推,
当n=2k-1(k∈N*)时,xn<2;
当n=2k(k∈N*)时,xn>2(8分)
(3)由于xn>0,xn+1==1+
,
所以xn≥1(n=1,2,3,)(9分)
所以|xn+1-2|=||=
≤
|xn-2|(10分)
所以|xn-2|≤|xn-1-2|≤
|xn-2-2|≤…≤
|x1-2|=
(12分)
所以|x1-2|+|x2+2|+…+|xn-2|≤1++(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-1=2-()n-1<2(14分)
如图所示,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,l与抛物线C相交于另一点Q,当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ的中点M的轨迹方程,并求点M到x轴的最短距离.
正确答案
设P(x0,y0),则y0=x02,
∴过点P的切线斜率k=x0,
当x0=0时不合题意,∴x0≠0.
∴直线l的斜率kl=-=-
,
∴直线l的方程为y-x02=-
(x-x0).
此式与y=x2联立消去y得
x2+x-
x02-2=0
设Q(x1,y1),M(x,y).
∵M是PQ的中点,
∴
消去x0,得y=x2++1(x≠0)就是所求的轨迹方程.
由x≠0知x2>0,
∴y=x2++1≥2
+1=
+1
上式等号仅当x2=,即x=±
时成立,
所以点M到x轴的最短距离是+1.
已知A1,A2为双曲线C:-y2=1的左右两个顶点,一条动弦垂直于x轴,且与双曲线交于P,Q(P点位于x轴的上方),直线A1P与直线A2Q相交于点M,
(1)求出动点M(2)的轨迹方程
(2)设点N(-2,0),过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A,B两点,且满足=λ
,其中λ∈[
,
],求出直线AB斜率的取值范围.
正确答案
(1)设P(x0,y0),Q(x0,-y0),A1(-,0),A2(
,0)
直线A1P的方程为:=
,(1)
直线A2Q的方程为:=
,(2)
将(1)×(2)得到:=
,又因为
-y02=1.
所以得到M的轨迹方程为:+y2=1,(y≠0)
(2)=λ
,∴A,B,N三点共线,而点N的坐标为(-2,0).
设直线AB的方程为y=k(x+2),其中k为直线AB的斜率,依条件知k≠0.
由消去x得(
y-2)2+2 y2=2,即
y2-
y+2=0
根据条件可知解得0<|k|<
(5分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据韦达定理,得
又由=λ
得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2)
从而
消去y2得
=
消去
令∅(λ)=,λ∈[
,
]则∅′(λ)=1-
=
由于≤λ≤
所以∅(λ)是区间[
,
]上的减函数,
从而∅()≤∅(λ)≤∅(
),即
≤∅(λ)≤
,
≤
≤
,∴
≤
≤
解得
≤|k|≤
而0<k<,∴
≤k≤
因此直线AB的斜率的取值范围是[,
]
试求三直线ax+y+1=0,x+ay+1=0,x+y+a=0构成三角形的条件.
正确答案
任二直线都相交,则≠
且
≠1,∴a≠±1.
由于三直线不共点,故 的交点不在ax+y+1=0上,即a(-1-a)+1+1≠0,即 a2+a-2≠0,即(a+2)(a-1)≠0,
解得 a≠-2,且 a≠1.
综合上述结果,此三直线构成三角形的条件是a≠±1,且a≠-2.
如图,边长为2的正六边形ABCDEF的中心在原点,点F、C在x轴上.
(1)求CD边所在的直线方程;
(2)若直线l与边CD相交,且平分该六边形的面积,求直线l的斜率的取值范围.
正确答案
(1)由题意知C(2,0),D(1,),用两点式写出CD边所在的直线方程
=
,
即 x+y-2
=0.
(2)直线l过正六边形的中心,当直线l与边CD相交与点C时,直线l与x轴重合,斜率最小等于0,
当直线l与边CD相交与点D时,直线l即直线AD,方程即 y=x,斜率最大等于
,
故斜率的取值范围为[0,].
求过点P(2,3)且满足下列条件的直线方程:
(1)倾斜角等于直线x-3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程;
(2)在两坐标轴上截距相等的直线方程.
正确答案
(1)设已知直线的倾斜角为α,由题可知tanα=,
则所求直线的斜率k=tan2α==
=
,
所以直线l的方程为y-3=(x-2),化简得:3x-4y+6=0;
(2)当直线过原点时设直线方程为y=kx,把(2,3)代入求出k=,所以直线l的方程为:y=
x
当直线不过原点时,设直线方程为+
=1,把(2,3)代入方程得:
+
=1,解得A=5,所以直线l的方程为:
+
=1.
已知双曲线的中心为原点
,左、右焦点分别为
、
,离心率为
,点
是直线
上任意一点,点
在双曲线
上,且满足
.
(1)求实数的值;
(2)证明:直线与直线
的斜率之积是定值;
(3)若点的纵坐标为
,过点
作动直线
与双曲线右支交于不同的两点
、
,在线段
上去异于点
、
的点
,满足
,证明点
恒在一条定直线上.
正确答案
(1);(2)详见解析;(3)详见解析.
试题分析:(1)根据双曲线的离心率列方程求出实数的值;(2)设点
的坐标为
,点
的坐标为
,利用条件
确定
与
、
之间的关系,再结合点
在双曲线
上这一条件,以及斜率公式来证明直线
与直线
的斜率之积是定值;(3)证法一是先设点
、
的坐标分别为
、
,结合(2)得到
,
,引入参数
,利用
转化为相应的条件
,利用坐标运算得到点
的坐标所满足的关系式
,进而证明点
恒在定直线
上;证法二是设直线
的方程为
,将直线
的方程与双曲线的方程联立,结合韦达定理,将条件
进行等价转化为
,结合韦达定理化简为
,最后利用点
在直线
上得到
,从而消去
得到
,进而证明点
恒在定直线
上.
试题解析:(1)根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为,由于
,解得
,
故双曲线的方程为
;
(2)设点的坐标为
,点
的坐标为
,易知点
,
则,
,
,因此点
的坐标为
,
故直线的斜率
,直线
的斜率为
,
因此直线与直线
的斜率之积为
,
由于点在双曲线
上,所以
,所以
,
于是有
(定值);
(3)证法一:设点 且过点
的直线
与双曲线
的右支交于不同的两点
、
,由(2)知,
,
,
设,则
,即
,
整理得,
由①③,②
④得,
,
将,
,代入⑥得
,⑦,
将⑦代入⑤得,即点
恒在定直线
上;
证法二:依题意,直线的斜率
存在,设直线
的方程为
,
由,
消去得
,
因为直线与双曲线
的右支交于不同的两点
、
,
则有,
设点,由
,得
,
整理得,
将②③代入上式得,
整理得,④
因为点在直线
上,所以
,⑤
联立④⑤消去得
,所以点
恒在定直线
.
已知点A(2,3),B(-5,2),若直线l过点P(-1,6),且与线段AB相交,则该直线倾斜角的取值范围是______.
正确答案
直线PA的斜率k==-1,倾斜角等于135°
直线PB的斜率k′==1,倾斜角等于45°
结合图象由条件可得 直线l的倾斜角α的取值范围是 0°≤α≤45°,或 135°≤α<180°,
故答案为:0°≤α≤45°,或 135°≤α<180°
直线2x+2y+=0的倾斜角是______.
正确答案
设直线的倾斜角为θ,则其斜率k=tanθ
∵直线2x+2y+=0的斜率为k=-1
∴tanθ=-1,
∵θ∈[0,π)
∴θ=
故答案为
已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
正确答案
(1)直线l的方程可化为:y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,
要使直线l不经过第四象限,则,解得k的取值范围是:k≥0…(5分)
(2)依题意,直线l在x轴上的截距为:-,在y轴上的截距为1+2k,
∴A(-,0),B(0,1+2k),又-
<0且1+2k>0,
∴k>0,故S=|OA||OB|=
×
(1+2k)=
(4k+
+4)≥
(4+4)=4,当且仅当4k=
,即k=
时取等号,
故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0…(10分)
已知直线y=x+1,y=-x+1,y=-2x+1的倾斜角分别为α1,α2,α3,则α1,α2,α3从小到大的排列顺序为______.
正确答案
由题设知tanα1=1,
tangα2=-1,
tanα3=-2,
∴α1<α3<α2.
故答案为:α1<α3<α2.
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