直线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的编号）．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线．

正确答案

①令y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；

②若k=，b=，则直线y=x+经过（-1，0），所以本命题错误；

设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），

把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，

两式相减得：y1-y2=k（x1-x2），

则（x1-x2，y1-y2）也在直线y=kx上且为整点，

通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，

又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立．则③正确，④不正确；

⑤令直线y=x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．

综上，命题正确的序号有：①③⑤．

故答案为：①③⑤

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题型：填空题

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填空题

已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为

正确答案

4

设直线 l 为（a>0,b>0），则有关系．对应用２元均值不等式，得，即ab≥8 ．于是，△OAB 面积为S．从而应填4

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题型：简答题

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简答题

过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程．

正确答案

2x＋y－6＝0

(解法1)设所求的直线方程为y－4＝k(x－1)．显见，上述直线在x轴、y轴上的截距分别为1－、4－k.由于1－>0且4－k>0可得，k<0.直线在两坐标轴上的截距之和为S＝＋(4－k)＝5＋(－k)＋≥5＋4＝9，当且仅当－k＝－，即k＝－2时，S有最小值9.故所求直线方程为y－4＝－2(x－1)，即2x＋y－6＝0.

(解法2)设所求的直线方程为＝1(a>0，b>0)．

据题设有＝1，①　令S＝a＋b.②

①×②，有S＝(a＋b)＝5＋≥5＋4＝9.当且仅当时，即2a＝b，且＝1，也即a＝3，b＝6时，取等号．

故所求的直线方程为＝1，即2x＋y－6＝0.

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题型：简答题

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简答题

已知直线的方程为，求满足下列条件的直线的方程：

（1）与平行且过点；（2）与垂直且过点；

正确答案

（1）：；（2）：

试题分析：（1）两直线平行则斜率相等，可设的方程为：，再将点代入的方程得C即可；也可由点斜式方程写出的方程；

（2）两直线垂直则斜率乘积为-1，可设：，再将点代入的方程得m即可；也可由点斜式方程写出的方程.

试题解析：（1）由与平行，则可设的方程为：

过点 ∴

解得：C=13 ∴：（6分）

（2）由与垂直,则可设：，

∵过，∴

解得：m=-9，∴：（12分）

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题型：填空题

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填空题

若，，则____________；___________。（其

中是极点）

正确答案

，8

略

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题型：简答题

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简答题

已知两点M、N分别在直线与直线上运动，且|MN|=2.动点P满足（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C.

（I）求曲线C的方程；

（II）过点（0，1）作直线l与曲线C交于不同的两点A、B.若对任意，都有∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

已知集合A＝｛(x,y)｜＝2,x、y∈R｝，B＝｛(x,y)｜4x+ay＝16,x、y∈R｝，若A∩B＝，则实数a的值为．

正确答案

4或-2

A表示两条射线，B中的直线与其平行或过射线的端点。

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题型：填空题

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填空题

有下列三条直线：①l1：+=1；②l2：x+y+4=0；③l3：y+4=-3（x-2）．

其中与直线y=2x-4在y轴上的截距相等的有______．（只需填写序号）

正确答案

直线y=2x-4在y轴上的截距为-4，

l1：+=1化为斜截式为y=-2x+4，∴在y轴上的截距为4，

l2：x+y+4=0化为斜截式为y=-x-4，∴在y轴上的截距为-4，

l3：y+4=-3（x-2）化为斜截式为y=-3x-10，∴在y轴上的截距为-10

∴与直线y=2x-4在y轴上的截距相等的直线是②l2：x+y+4=0

故答案为②

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点，且弦的中点为，则直线的方程为 .

正确答案

试题分析：假设.AB的中点坐标为.所以可得.由①-②可得.即.所以.

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题型：填空题

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填空题

直线x＋a2y－a＝0(a>0，a是常数)，当此直线在x、y轴上的截距和最小时，a＝________．

正确答案

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方程可化为＝1，因为a>0，所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号．

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程为______；

正确答案

试题分析：由曲线的导函数为.所以在点处的切线的斜率为3.所以切线方程为.即所求的切线方程为.本小题的关键是通过求导得到切线的斜率。从而写出切线方程.

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题型：简答题

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简答题

光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点,求所在直线的方程及点的坐标．

正确答案

直线方程为：；.

试题分析:先求出点关于轴的对称点,然后根据直线两点式方程求出的直线方程为.

试题解析：点关于轴的对称点.

因为点在直线上，，所以的直线方程为：.

化简后得到的直线方程为：.

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)已知两点，直线，在直线上求一点.

（1）使最小；（2）使最大.

正确答案

（1）直线A1B与的交点可求得为,由平面几何知识可知最小.（2）直线AB与的交点可求得为，它使最大.

试题分析：（1）要使得点P到点A,B的距离和最小，则利用两边之和大于等于第三边，结合对称性，做一个点A，（或者B）的关于直线的对称点A’（,或者B’），然后连接A’B与直线相交的交点即为所求的最小值的点P的位置。通过等价转化得到结论。

（2）而要求解的最大值，则利用两点在直线的同侧，可以连线，延长与直线相交，结合两边之差小于等于第三边，当三点共线的时候满足最大值得到结论。

解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于的对称点A1的坐标为（x1，y1）.

则有﹍﹍﹍﹍﹍2分

解得﹍﹍﹍﹍4分

由两点式求得直线A1B的方程为，﹍﹍﹍﹍5分

直线A1B与的交点可求得为﹍﹍﹍﹍6分

由平面几何知识可知最小.

（2）由两点式求得直线AB的方程，即.﹍﹍﹍﹍8分

直线AB与的交点可求得为，它使最大. ﹍﹍﹍﹍12分

点评：解决该类最值问题，一般要转换为三点共线的特殊情况来得到。

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题型：填空题

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填空题

过点的倾斜角为的直线与圆交于两点，则 .

正确答案

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试题分析：如图，直线的方程为：，即：，由点到直线的距离公式得：，因为，所以由勾股定理得：，由两点距离公式得：，所以由勾股定理得：，则，，求得

点评：当涉及到曲线的交点时，不一定就要联立曲线的方程组去求出交点的坐标，像本题，求出交点的坐标是相当麻烦的。

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题型：填空题

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填空题

过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程

正确答案

x+y=3或y=2x

略

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