直线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知直线l:x+y－2=0,一束光线过点P(0,+1),以120°的倾斜角投射到l上,经过l反射,求反射光线所在直线的方程.

正确答案

反射光线所在直线的方程为y－1=－ (x－1),即x+y－－1=0.

欲求反射光线所在直线的方程,可考虑以下途径:

(1)求出倾斜角；

(2)求出斜率；

(3)求出它经过的两个特殊点；

(4)考虑对称关系.

解法一:建立坐标系如下图,设入射光线交l于Q点,交x轴于M点,反射光线交x轴于P2点,l交x轴于N点.

∵∠QMP2=120°,∠QNP2=135°,∴∠MQN=15°.

由光的反射定理知∠MQN=∠NQP2=15°,故反射光线的倾斜角θ=120°+30°=150°.

∴所求直线的斜率为－.

由得Q(1,1).

故反射光线所在直线的方程为y－1=－(x－1),

即x+y－－1=0.

解法二:kλ=－,设反射光线的斜率为k,由入射光线到l的角等于l到反射光线的角,所以有=.

解之得k=－.

由得Q(1,1).

故反射光线所在直线的方程为y－1=－ (x－1),即x+y－－1=0.

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题型：简答题

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简答题

由方程|x|+|y－1|=2确定的曲线所围成的图形的面积是多少？

正确答案

8

分情况去绝对值确定图形.

当x≥0,y－1≥0时，方程为x+y－3=0.

又方程确定的曲线关于y轴、直线y=1对称，故所围成的图形为矩形.

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题型：填空题

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填空题

直线中系数满足，方程表示通过原点的直线。

正确答案

把原点代入，得。

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题型：简答题

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简答题

（本题满分12分）

已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长。

正确答案

（1）直线AB的方程为

（2）

解：（1）由两点式写方程得，

即 6x-y+11=0

或直线AB的斜率为

直线AB的方程为

即 6x-y+11=0

（2）设M的坐标为（），则由中点坐标公式得

故M（1，1）

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题型：简答题

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简答题

是等腰直角三角形斜边上任意一点，

用解析法证明：．

正确答案

证明见解析

如图，以的两条直角边所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，设点的坐标为则点的坐标为，并设点的坐标为，

则

，

作轴于点，作轴于点，则，，

，即．

，

．

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题型：填空题

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填空题

已知数轴上的两点和，求线段中点的坐标．

正确答案

设点是线段的中点，研究与的关系．

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题型：简答题

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简答题

求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.

正确答案

直线方程为15x+5y+16=0.

由方程组,

∵直线l和直线3x+y-1=0平行,

∴直线l的斜率k=-3.

∴根据点斜式有,

即所求直线方程为15x+5y+16=0.

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题型：简答题

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简答题

求过两直线l1:x+y+1=0,l2:5x-y-1=0的交点，且与直线3x+2y+1=0的夹角为的直线方程.

正确答案

所求直线方程为x+5y+5=0

设所求直线方程为x+y+1+(5x-y-1)=0,

即(1+5)x+(1-)y+1-=0.

因为所求直线与直线3x+2y+1=0的夹角为,

所以tan=

解得=-.

∴所求直线方程为x+5y+5=0.

又直线l2:5x-y-1=0与直线3x+2y+1=0的夹角满足tan=

∴=，故直线l2也是符合条件的一解.

综上所述，所求直线方程为

x+5y+5=0或5x-y-1=0.

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题型：填空题

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填空题

已知点、直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是．

正确答案

或

试题分析：因为画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 k≥kPB或 k≤kPA，用直线的斜率公式求出kPB和kPA的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．即

如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB或 k≤kPA，

即 k≥=，或 k≤∴k≥，或k≤-4，

故答案为：k≥或k≤-4．

点评：解决该试题的关键是理解过定点的直线，在旋转过程中，要满足有交点，则倾斜家的变化情况，结合正切函数图形得到斜率的范围。

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题型：填空题

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填空题

已知两直线a1x+b1y+1=0与a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），则过点Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）的直线方程为 .

正确答案

,所以点Q1、Q2满足直线2x+3y+1=0的方程.所以所求直线方程为

因为,所以点Q1、Q2满足直线2x+3y+1=0的方程.所以所求直线方程为2x+3y+1=0.

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题型：简答题

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简答题

求经过两条直线：与：的交点，且垂直于直线：直线的方程.

正确答案

直线的方程为

先解由l1和l2方程组成的方程组，再根据所求直线与l3垂直，可得所求直线的斜率，进而可以写出点斜式方程，再化成一般式即可

由解得∴ 点P的坐标是（，2）

∵ 所求直线与垂直，∴ 设直线的方程为

把点P的坐标代入得，得∴ 所求直线的方程为

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题型：简答题

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简答题

已知三条直线l1:，l2:，l3:，先画出图形，再求这三个交点坐标.

正确答案

A的坐标（-2，-1）B的坐标（1，-1）C（，）

根据方程组的解与直线的交点之间的对应关系.解方程组可以分别求出三个交点的坐标.通过计算斜率可得l1l3，

解方程组得所以点A的坐标（-2，-1）

解方程组得所以点B的坐标（1，-1）

同理C（，）

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题型：填空题

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填空题

（本题满分10分）

已知两直线：，：，当为何值时，直线与：

⑴平行； ⑵垂直.

正确答案

解：⑴，且（不重合），-----3分

解得，（舍去！），故当时，；--------------------------5分

⑵， --------------------8分

解得，故当时，--------------------------------10分

略

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题型：简答题

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简答题

等腰三角形两腰所在直线是7x-y-9=0和x+y-7=0,底边所在直线过点（3，-8），求底边所在直线方程

正确答案

x-3y-27=0或3x+y-1=0

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题6分）

如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为, 点

在边所在直线上．求：

（1）边所在直线的方程；

（2）边所在的直线方程.

正确答案

（1）

（2）

解：（1）由题意：为矩形，则，

又边所在的直线方程为：，

所在直线的斜率，

而：点在直线上.

边所在直线的方程为：…………………………（3分）

（2）为矩形两对角线的交点，则点到直线和直线的距离相等

又//，可令的直线方程为：.

而M到直线AB的距离

M到直线BC的距离为，

即：或，又，，

DC边所在的直线方程为：…………………………（3分）

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