热门试卷

（1）由已知得，

解得a=，c=1

∴b==1∴所求椭圆的方程为+y2=1

（ 2）由（1）得F1（-1，0）、F2（1，0）

①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，

由得y=±

设M(-1，)、N(-1，-)，

∴|+|=|(-2，)+(-2，-)|=|(-4，0)|=4，这与已知相矛盾．

②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），

设M（x1，y1）、N（x2，y2），

联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0

∴x1+x2=，x1x2=，

∴y1+y2=k(x1+x2+2)=．

又∵=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)

∴+=(x1+x2-2，y1+y2)

∴|+|===

化简得40k4-23k2-17=0

解得k2=1或k2=-（舍去）

∴k=±1

∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1

设直线的方程为+=1（a＞0，b＞0）．

把点P（1，4）代入可得+=1．

∴a+b=(a+b)(+)=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a=6时取等号，

a+b的最小值为9，此时直线的方程为+=1．

（1）由f（x）=x3-3x得，f′（x）=3x2-3，

过点P且以P（1，-2）为切点的直线的斜率f′（1）=0，

∴所求直线方程为y=-2．

（2）设过P（1，-2）的直线l与y=f（x）切于另一点（x0，y0），

则f′（x0）=3x02-3．

又直线过（x0，y0），P（1，-2），

故其斜率可表示为=，

又=3x02-3，

即x03-3x0+2=3（x02-1）•（x0-1），

解得x0=1（舍）或x0=-，

故所求直线的斜率为k=3×（-1）=-，

∴y-（-2）=-（x-1），

即9x+4y-1=0．

（1）y=kx+b（b＞0）与x2+y2=1相切，则=1，

即b2=k2+1，∵b＞0，∴b=.

由消去y，

得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0．

∵l与椭圆交于不同的两点，

∴△=16k2b2-4（2k2+1）（2b2-2）=8k2＞0，k≠0．

∴b=(k≠0)

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=-，x1x2=

•=x1x2+y1y2=+x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=(1+k2)+kx+b2=•=，

∴=•k2=1.

所以b2=2，∵b＞0，∴b=，

∴l：y=x+或y=-x+

（1）∵=xi+（y+2）j，=xi+（y-2）j，且||+||=8，

∴点M（x，y）到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离之和为8．

c=2，a=4，则b==2

∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为+=1．

（2）∵l过y轴上的点（0，3），

若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点．

∵=+=0，

∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．

∴直线l的斜率存在．设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），

由y=kx+3，+=1，消y得（4+3k2）x2+18kx-21=0．

此时，△=（18k2）-4（4+3k2）＞0恒成立且x1+x2=-，x1x2=-．

∵=+，

∴四边形OAPB是平行四边形．若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即•=0．

∵=（x1，y1），=（x2，y2），

∴•=x1x2+y1y2=0，

即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，

即（1+k2）•（-）+3k•（-）+9=0，即k2=，得k=±．

∴存在直线l：y=±x+3，使得四边形OAPB是矩形．

（Ⅰ）依题意，动点M（x，y）到直线x=-1和点N（1，0）的距离相等，

所以=|x+1|，

即y2=4x．

所以点M的轨迹E的方程y2=4x．

（Ⅱ）设B（x1，y1）C（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，

所以=(x1+2，y1)，=(x2-x1，y2-y1)．

由=2得，y1=2（y2-y1），即=，所以=…①

设直线AB的方程为y=k（x+2），（k≠0），

消去y，得k2x2+4（k2-1）x+4k2=0，

由根与系数的关系得：x1+x2=…②

x1x2=4…③

由①、③得，x1=，x2=3，代入②，得k2=，

所以k=±．

所以所求直线方程为y=±（x+2）．

（1）由圆的标准方程可得圆心坐标为（1，0），直线的斜率k==2，

故直线的方程为y-0=2（x-1），整理得2x-y-2=0． （4分）

（2）由于圆的半径为3，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-2），

整理得kx-y+（2-2k）=0，圆心到直线l的距离为d==1=，

解得k=，代入整理得3x-4y+2=0．  （8分）

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，经检验符合题意．

∴直线l的方程为3x-4y+2=0，或x=2．        （10分）

（1）；（2）.

试题分析：这是空间向量在空间距离上的应用问题.（1）先求出向量的坐标，然后点到平面的距离由公式即可算出；（2）先算出的坐标，然后计算出的值，再由同角三角函数的基本关系式求出，最后由公式计算出所求的距离即可.

试题解析：（1）依题意可得，，设到平面的距离为，则

（2）设到直线的距离为，依题意有

所以

所以

所以.

（1）直线l经过点A（2，1），且与直线2x+y-10=0平行，直线l的斜率为：-2

所以直线l的方程为：y-1=-2（x-2）．

即2x+y-5=0．

（2）∵所求直线方程与直线4x+5y-8=0垂直，

∴设方程为5x-4y+m=0

∵直线过点（3，2），

∴5×3-4×2+m=0

∴m=-7

∴所求直线方程为5x-4y-7=0．

设B（x0，y0），由AB中点在4x+11y-27=0上，可得4•+11•-27=0

联立x0-2y0+5=0

解得B（-3，1）…（5分）

设A点关于x-2y+5=0的对称点为A′（x′，y′），

则有

解得A′（2，1）…（10分）

∴BC边所在的直线方程为y=1…（12分）

（I）AB边所在直线的方程为=，…（2分）

即x+y-4=0．…（4分）

（II）|AB==2|，…（6分）

点C到直线AB的距离d==，就是AB边上的高h，…（10分）

所以，S△ABC=|AB|•h=×2×=5．…（12分）

因为AC边上的高线所在直线方程为x-2y=0，所以kAC=-2，

AB边上的高线所在直线方程为3x+2y-3=0．所以kAB=．

∴直线AC的方程：y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0，

直线AB的方程：y-1=（x-1），即2x-3y+1=0．

由，得C（3，-3），

由得B（-2，-1），

=

直线BC的方程：2x+5y+9=0．

（Ⅰ）∵A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），

∴BC的中点M（0，2），

∴BC边上中线AD所在直线的方程为：y-2=（x-0），

∴2x-3y+6=0；

（Ⅱ）∵BC的斜率kBC=-，

∴BC边上高线AH所在直线的斜率kAH=2，

∴由点斜式得AH所在直线的方程为：y=2（x+3），即2x-y+6=0．