热门试卷

由题意，设A（a，0）、B（0，b）．则直线AB方程为+=1（a＞0，b＞0），

∵，PA⊥PB，∴×=-1，化简得b=10-2a．

∵b＞0，∴0＜a＜5．直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0

∴点P（4，2）到直线AB的距离为d1=．

又∵原点O到直线AB的距离为d2=，

∵四边形OAPB的面积被直线AB平分，∴d1=d2，

∴4b+2a-ab=±ab，又∵b=10-2a．

解得或，

∴所求直线AB的方程为x+2y-4=0或2x+y-5=0．

（1）设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意列方程组，

解得D=-8，E=F=0．

∴圆C：（x-4）2+y2=16．

（2）当斜率不存在时，l：x=2被圆截得弦长为4，符合题意；

当斜率存在时，设直线l：y-6=k（x-2），

即kx-y+6-2k=0，

∵被圆截得弦长为4，

∴圆心到直线距离为2，

∴=2，解得k=-，

∴直线l：y-6=-(x-2)，即4x+3y-26=0.

故所求直线l为x=2，或4x+3y-26=0．

∵直线l与直线4x+3y-7=0平行，

∴kl=-．

设直线l的方程为y=-x+b，

则直线l与x轴的交点为A(b，0)，与y轴的交点为B（0，b），

∴|AB|==|b|

∵直线l与两坐标轴围成的三角形周长是15，

∴|b|+|b|+|b|=15．

∴|b|=5，∴b=±5．

∴直线l的方程是y=-x±5，

即4x+3y±15=0．

（1）设直线方程为+=1（a＞0，b＞0）

由题意得ab=，+=1，解得或

所以所求直线方程式3x+y-9=0或3x+4y-18=0．

（2）∵1=+≥2，

所以ab≥24，S≥12当且仅当==时取等号，

所以此时直线方程为3x+2y-12=0．

设l的方程为y-1=-m（x-1），

则P（1+，0），Q（0，1+m）．

从而可得直线PR和QS的方程分别为

x-2y-=0和x-2y+2（m+1）=0．

又PR∥QS，

∴|RS|=

=．又|PR|=，

|QS|=，

四边形PRSQ为梯形，

S四边形PRSQ   ;=[+]•

=（m++）2-≥（2+）2-=3.6．

∴四边形PRSQ的面积的最小值为3.6．

设直线为y-2=k（x+2），交x轴于点(-2，0)，交y轴于点（0，2k+2），S=×|+2|×|2k+2|=1，|4++2k|=1

得2k2+3k+2=0，或2k2+5k+2=0

解得k=-，或k=-2，

∴x+2y-2=0，或2x+y+2=0为所求．

（1）∵点（-1，）在椭圆内部，∴直线MN与椭圆必有公共点

设点M（x1，y1），N（x2，y2），由已知x1≠x2，则有+y12=1，+y22=1

两式相减，得=-（y1-y2）（y1+y2）

而x1+x2=-2，y1+y2=，∴直线MN的斜率为1

∴直线MN的方程为4x-4y+5=0；

（2）假定存在定点E（m，0），•恒为定值λ

由于直线l不可能为x轴，于是可设直线l的方程为x=ky+1，且设点P（x3，y3），Q（x4，y4），

将x=ky+1代入+y2=1得（k2+4）y2+2ky-3=0．

显然△＞0，∴y3+y4=-，y3y4=-

∵=（x3-m，y3），=（x4-m，y4），，

∴•=x3x4-m（x3+x4）+m2+y3y4=

若存在定点E（m，0），使=λ为定值（λ与k值无关），则必有

∴m=，λ=

∴在x轴上存在定点E（，0），使•恒为定值．