- 直线与方程
- 共7398题
求过点（2，3）且在x轴和y轴截距相等的直线的方程______．
正确答案
设直线在x轴为a，y轴截距为b，
①当a=b=0时，直线过点（2，3）和（0，0），
其方程为
②当a=b≠0时，
直线方程为
把点（2，3）代入，得
解得a=5，∴直线方程为x+y-5=0．
故答案为：x+y-5=0，或3x-2y=0．
设直线方程为l：（a+1）x+y+2+a=0（a∈R）
（Ⅰ）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程；
（Ⅱ）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）直线方程为l：（a+1）x+y+2+a=0（a∈R），令x=0可得 y=-a-2；令y=0可得x=
若直线l在两坐标轴上的截距相等，则-a-2=
故直线l方程为 x+y+2=0 或 x-y=0．
（Ⅱ）∵直线方程为 y=-（a+1）x-a-2，若l不经过第二象限，则a=-1 或 
解得-2≤a≤-1，故实数a的取值范围为[-2，-1]．
已知直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0相互垂直，且垂足为（1，b），求实数a、b、c的值．
正确答案
根据斜率之积等于-1且垂足在两条直线上可得 
解得a=10；b=-2；c=-12．
已知三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求AB边上高所在直线的方程．
正确答案
AB的斜率为
又AB边上高所在直线过点C（0，3），由点斜式求得AB边上高所在直线的方程为y-3=-
即 2x+7y-21=0．
已知直线l1：x+y-3=0，l2：x-y-1=0．
（Ⅰ）求过直线l1与l2的交点，且垂直于直线l3：2x+y-1=0的直线方程；
（Ⅱ）过原点O有一条直线，它夹在l1与l2两条直线之间的线段恰被点O平分，求这条直线的方程．
正确答案
（Ⅰ）由
∵所求的直线垂直于直线l3：2x+y-1=0，∴所求直线的斜率为
∴所求直线的方程为x-2y=0．
（Ⅱ）如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为x=0，不合题意．
所以设所求的直线方程为y=kx．
所以它与l1，l2的交点分别为(
由题意，得
解得k=2．
所以所求的直线方程为2x-y=0．
已知点O为抛物线y2=6x的顶点，△OAB的另外两个顶点A，B也在此抛物线上，若△OAB的垂心恰为抛物线的焦点F，则直线AB的方程为______．
正确答案
由题意可得 F（
由垂心的性质可得 OA⊥BF，故 
故答案为：x=
已知三角形的顶点是A（0，2），B（-2，0），C（2，-4），求：
（Ⅰ）AB边上的中线CD的长及CD所在的直线方程；
（Ⅱ）△ABC的外接圆的方程．
正确答案
（Ⅰ）AB边上的中点D（-1，1）
AB边上的中线|CD|=
CD所在的直线方程5x+3y+2=0
（Ⅱ）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
∴
解得D=-2，E=2，F=-8
∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2-2x+2y-8=0
即△ABC的外接圆的方程 （x-1）2+（y+1）2=10
已知双曲线方程为2x2-y2=2，以A（2，1）为中点的弦所在直线方程为______．
正确答案
设以A（2，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则x1+x2=4，y1+y2=2．
又2x12-y12=2，①
2x22-y22=2，②
①-②得：2（x1+x2）（x1-x2）=（y1+y2）（y1-y2），
又据对称性知x1≠x2，
∴A（2，1）为中点的弦所在直线的斜率k=
所以中点弦所在直线方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
故答案为：4x-y-7=0．
过点（-1，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为______．
正确答案
设过点（-1，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为 x-2y+m=0，把点（-1，3）代入直线方程得
-1-2×3+m=0，m=7，故所求的直线方程为x-2y+7=0，
故答案为：x-2y+7=0．
直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．
正确答案
设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6-a，
∴直线l的方程为
∵点（1，2）在直线l上，
∴
解得：a1=2，a2=3，
当a=2时，直线的方程为2x+y-4=0，直线经过第一、二、四象限；
当a=3时，直线的方程为x+y-3=0，直线经过第一、二、四象限．
综上所述，所求直线方程为2x+y-4=0或x+y-3=0．
已知直线l：3x+4y-2=0
（Ⅰ）求经过直线l与直线x+3y-4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的方程；
（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的内切圆的方程．
正确答案
（Ⅰ）联立得：
解得：
∵所求直线与x-2y-1=0垂直，
∴可设所求直线的方程为2x+y+c=0，
把点P的坐标（-2，2）代入得 2×（-2）+2+c=0，即c=2，
则所求直线的方程为2x+y+2=0；
（Ⅱ）对于直线l：3x+4y-2=0，令x=0，得到y=
可得直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是
∴直线l与两坐标轴围成的三角形的半径为
则直线l与两坐标轴围成三角形的内切圆方程为（x-
已知两点F1（-2，0），F2（2，0），曲线C上的动点M满足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|，直线MF2与曲线C交于另一点P．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设N（-4，0），若S△MNF2：S△PNF2=3：2，求直线MN的方程．
正确答案
（Ⅰ）因为|F1F2|=4，|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=8＞4，
所以曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆．
曲线C的方程为
（Ⅱ）显然直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行．（5分）
设M（xM，yM），P（xP，yP），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．
由
解得y=0或y=
依题意yM=
因为S△MNF2：S△PNF2=3：2，
所以
于是
所以
因为点P在椭圆上，所以3(
整理得48k4+8k2-21=0，
解得k2=
从而k=±
所以直线MN的方程为y=±
已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为
正确答案
解法一：设所求直线l的方程为y=kx+b．
∵k=6，∴方程为y=6x+b．
令x=0，∴y=b，与y轴的交点为（0，b）；
令y=0，∴x=-
根据勾股定理得（-
∴b=±6．因此直线l的方程为y=6x±6．
解法二：设所求直线为
由勾股定理知a2+b2=37．
又k=-
解此方程组可得
∴a2+b2=37，
-
或a=1，a=-1，
b=-6b=6．
因此所求直线l的方程为x+
过点P（3，-2）且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程是 ______．
正确答案
当直线在两坐标轴上截距不等于0时，
设方程为 
故直线方程是 
当截距等于0时，直线的斜率为
由点斜式可得直线方程为 y=-
综上，所求的直线方程是 x-y-5=0，或y=-
故答案为 x-y-5=0，或y=-
已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．
(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；
(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．
正确答案
（1）k＝1或k＝
（2）k∈(－∞，－
解：(1)∵点M、N到直线l的距离相等，
∴直线l平行于MN所在的直线或过MN的中点，
∴k＝1或k＝
(2)设l上任意一点P(x0，kx0－2k＋2)．
若∠MPN恒为锐角，则
即(x0，kx0－2k)·(x0＋2，kx0－2k＋2)>0，
∴x02＋2x0＋(kx0－2k)2＋2kx0－4k>0，
∴(1＋k2)x02＋(2k－4k2＋2)x0＋4k2－4k>0对x0∈R恒成立，
∴Δ＝(2k－4k2＋2)2－4(k2＋1)(4k2－4k)<0，
即－7k2＋6k＋1<0，∴k>1或k<－
即k∈(－∞，－
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