热门试卷

由题意可得M（-2，3）关于x轴对称的点M′（-2，-3）（2分）

∵反射光线l1与已知直线l2平行

∴k1=k2=（4分）

∴直线l1的方程为y+3=(x+2)即3x-2y=0（6分）

由两平行线间的距离公式，可得d==（9分）

∴所求的直线l1与，l2的距离为（10分）

（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，-y1）

∵=λ

∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，∴y12=λ2y22，y12=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2

∴λ2x2+1=λ（x2+1），λx2（λ-1）=（λ-1）

∵λ≠1，∴x2=，x1=λ，

由抛物线C：y2=4x，得到F（1，0），

∴=（1-x1，y1）=（1-λ，λy2）=λ（-1，y2）=λ，

∴直线MQ经过抛物线C的焦点F；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x2=，x1=λ，得x1x2=1，y12-y22=16x1x2=16，y1y2＞0，y1y2=4，

则|PQ|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=x12+x22+y12+y22-2（x1x2+y1y2）=（λ+）2+4（λ+）-12=（λ++2）2-16

λ∈[，]，λ+∈[，]，

当λ+=，即λ=时，|PQ|2有最大值，则|PQ|的最大值为，

此时Q（3，±2），P（，±），

kPQ=±=±，

则直线PQ的方程为：x±2y+=0

依题意设，|AB|=2，直线AB的方程是=⇒x-y+1=0．（3分）

在△PAB中，设AB边上的高为h，则•2h=10⇒h=5，（7分）

设P（x，0），则P到AB的距离为，所以=5，（10分）

解得x=9，或x=-11．（11分）

所以，所求点的坐标是（9，0），或（-11，0）．（12分）

（1）解方程组，得 ，

所以，交点P（1，2）．

（2）l1的斜率为3，故所求直线为y-2=-(x-1)，

即为  x+3y-7=0．

AC的斜率k1=，∴AC所在的直线方程为 y-4=（x-5），即 3x-2y-7=0．

设直线AB的方向向量为=(m，n)，又直线AC的方向向量=(2，3)，且＜，＞=45°，

 所以，=，即=，∴2（2m+3n）2=13（m2+n2），

∴5m2-24mn-5n2=0，解得m=-n或m=5n，

故直线AB的方向向量为=(1，-5)或=(1，)，

 即 直线AB的斜率k=-5或．∴AB所在的直线方程为 y-4=-5（x-5），或 y-4=（x-5），

即：5x+y-29=0或x-5y+15=0．

∵kBC==1，∴kl=-1，

∴所求的直线方程为y=-（x-1），即x+y-1=0．

设l：y=kx或+=1

将点（2，3）代入得：k=，a=-1

于是l的方程为：3x-3y=0或x-y+1=0．

（1） （2）或

试题分析：（1）求,点就设,点的坐标,同时可以表示出的坐标,根据在上,且中点在上.两式联立可求出;根据在上,且得到,两式联立可求出.

（2）所求的圆经过三角形的三个顶点,所以设出圆的一般方程,将,,代入解方程组即可得到所求圆的方程.或者根据三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点，所以可以根据（1）中的,和已知的求两个边的垂直平分线,取其交点做圆心,该点到各个顶点的距离为半径,求出圆的方程.

试题解析：（1）由题意可设,则的中点.

因为的中点必在直线上,代入有①

又因为在直线上，所以代入有②

由①②联立解得.则,

因为在直线上，代入有③

又因为直线,所以有,则有④

根据③④有.

（2）因为三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点，

所以找到三角形两边的垂直平分线求得的交点就是外接圆的圆心，该点到各顶点的距离就是半径.

根据两点,可得斜率为,所以中垂线斜率为,中点为,则中垂线为⑤

同理可得直线的中垂线为⑥,

由⑤⑥可得圆心，半径为，所以外接圆为

法二：（2）设外接圆的方程为，其中。

因为三角形的个顶点都在圆上，所以根据（1），将三点坐标代入有：

         解得

∴外接圆的方程为．

（Ⅰ）；（2）．

试题分析：（1）先求出抛物线的准线方程，根据 向量关系式

可得到A，B，F三点共线，再由抛物线的定义可表示出| AB|，再设直线AB方程后与抛物线方程进行联立消去y得到关于x的方程，进而可得到两根之和与两根之积，代入到| AB|的表达式中可求出最后k的值，进而得到直线AB的方程．

（2）由（1）中求得的直线方程与抛物线联立可求出A，B的坐标，然后设圆的一般式方程，用待定系数法求出D，E，F的值，得到答案．

解：（Ⅰ）抛物线的准线方程为．

∵，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||=…1分

设直线AB：，而

由得．

∴||== ．∴．

从而，故直线AB的方程为，即

（2）由 求得A（4，4），B（，－1）

设△AOB的外接圆方程为，则

解得

故△AOB的外接圆的方程为．

点评：解决该试题的关键是能根据向量的工具性得到D,F,E三点共线，然后结合根与系数的关系得到参数的值。

(1)点P的轨迹C的方程为x2+y2=1． (2) x=1 或3x-4y+5=0 。

本题考查点轨迹方程的求法，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑切线的斜率不存在的情况，这是易错点

（1）设P（x，y），由|AB|=2，且P为AB的中点，可得|OP|=1，由两点间的距离公式求得点P的轨迹方程．

（2）①当切线的斜率不存在时，由条件易得x=1符合条件；②当切线的斜率存在时，设出切线方程，由切线的性质可解得斜率k的值，用点斜式求得切线方程．

解: (1) 方法一：设P(x , y ),   

∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，

∴∣OP∣=1                 ……………………2分

∴点P的轨迹方程为x2+y2=1．  ……………………4分

方法二：设P(x , y )， ∵P为AB的中点，

∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ),         ………………………2分

又∵∣AB∣=2     ∴(2x)2+(2y)2=2             

化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=1． ……………4分

(2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,

由条件易得  x=1符合条件;     ………………5分

②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y-2=k(x-1) 即kx-y+2-k=0

由    得k=,   ∴切线方程为y-2= (x-1)

即 3x-4y+5=0 

综上，过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程为：

x=1 或3x-4y+5=0      ……………………8分