直线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（1）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（3，1）、C（-1，0），求BC边上的高所在的直线方程．

（2）过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，求此弦所在的直线方程．

正确答案

（1）设BC边上的高为AD（D为垂足），

∵kBC==，kBC×kAD=-1，∴kAD=-4，

∴直线AD的方程为y-3=-4（x-1），化为4x+y-7=0．

（2）设要求的直线与椭圆相较于点A（x1，y1），B（x2，y2），则，

两式相减得+=0，

∵=2，=1，kAB=，

∴+=0，解得kAB=-．

∴直线AB为y-1=-(x-2)，化为x+2y-4=0．

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题型：简答题

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简答题

已知点A（-1，3），B（5，-7）和直线l：3x+4y-20=0．

（1）求过点A与直线l平行的直线l1的方程；

（2）求过A，B的中点与l垂直的直线l2的方程．

正确答案

（1）3x+4y-20=0的斜率为-，因为l1∥l，所以k1=-，

代入点斜式，得y-3=-(x+1)，

化简，得3x+4y-9=0．

（2）A，B的中点坐标为（2，-2），因为l2⊥l，所以k2=，

代入点斜式，得y+2=(x-2)，

化简，得4x-3y-14=0．

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题型：简答题

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简答题

已知点A（1，1），B（-1-3），直线l：x-2y+2=0．

（1）求线段AB的垂直平分线的方程；

（2）若一圆经过点A，B，且圆心在直线l上，求此圆的标准方程．

正确答案

（1）线段AB的中点为（0，-1），斜率为 ==-，

故线段AB的垂直平分线的方程为y+1=-（x-0 ），即 x+2y+2=0．

（2）设圆心坐标为 C（2b-2，b），则由题意可得半径r=CA=CB，

∴（2b-2-1）2+（b-1）2=（2b-2+1）2+（b+3）2=r2，

解得 b=0，r2=10，故圆心为（-2，0），故此圆的标准方程为（x+2）2+y2=10．

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题型：填空题

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填空题

已知圆O：x2+y2=4，AB为圆O的任意一条直径，P（1，3），Q（-1，0），则当PA+AB+BQ最小时，直径AB所在的直线方程为______．

正确答案

∵已知圆O：x2+y2=4，AB为圆O的任意一条直径，P（1，3），Q（-1，0），

设点R（1，0）、点A（x，y），

则点B（-x，-y），PA+AB+BQ=+4+

=++4=PA+AR+4．

由于表示圆上的点A（x，y）到点P（1，3）的距离，

而表示圆上的点A（x，y）到点R（1，0）的距离，

故当点A是PR与圆的交点时，PA+AR=+最小，

即PA+AB+BQ最小，此时，点A（1，），故AB的斜率为=，

故直线AB的方程为 y=x，

故答案为 y=x．

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题型：简答题

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简答题

已知正方形的中心为点M（-1，0），一条边所在的直线为l1：3x-y-3=0，求正方形其它三边所在的直线方程．

正确答案

M（-1，0）到直线3x-y-3=0的距离是=，

所以M到另三边距离也是，其中有一条边和3x-y-3=0平行

设为3x-y+c=0，由=，解得c=9或c=-3（舍去）

故方程为3x-y+9=0

另两条和他们垂直，所以斜率为-

设为：x+3y+b=0，由=，解得b=-5或b=7

故所求直线方程为：x+3y-5=0，x+3y+7=0，

故正方形其它三边所在的直线方程为：3x-y+9=0，x+3y-5=0，x+3y+7=0

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题型：简答题

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简答题

三角形ABC的三个顶点A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：

（1）BC边所在直线的方程；

（2）BC边上中线AD所在直线的方程．

正确答案

（1）BC边所在直线的方程为：=

即x+2y-4=0

（2）∵BC边上的中点D的坐标为（0，2）

∴BC边上中线AD所在直线的方程为：=

即2x-3y+6=0

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，已知高AN和BM所在直线方程分别为x+5y-3=0和x+y-1=0，边AB所在直线方程x+3y-1=0，求直线BC，CA及AB边上的高所在直线方程．

正确答案

因为在△ABC中，已知高AN和BM所在直线方程分别为x+5y-3=0和x+y-1=0，边AB所在直线方程x+3y-1=0，

所以可得B（1，0）；

BC的斜率为：5．

所以直线BC的方程为：y=5（x-1），即5x-y-5=0；

由可得A（-2，1），

AC的斜率为：1．

直线AC的方程为：y-1=x+2，即x-y+3=0；

由可得C（2，5），AB的高线斜率为：3，

所以AB边上的高所在直线方程为：y-5=3（x-2），即3x-y-1=0．

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题型：填空题

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填空题

经过点（2，-1），且与直线2x-3y-1=0垂直的直线方程是______．

正确答案

根据题意，易得直线2x-3y-1=0的斜率为，

根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为-，

又由直线经过点（2，-1），

则所求的直线方程为y+1=-（x-2），即3x+2y-4=0，

故答案为：3x+2y-4=0．

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题型：填空题

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填空题

等边三角形OAB，A（4，0），B在第四象限，则边AB所在的直线方程为______．

正确答案

由题意等边三角形OAB，A（4，0），B在第四象限，

可得B（2，-2），

故直线AB的斜率为：kAB=，

以直线AB的方程为：y=（x-4）

故答案为：y=（x-4）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于．直线l与椭圆Γ交于M，N两点．

（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；

（Ⅱ）椭圆Γ的右焦点是否可以为△BMN的重心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

正确答案

（I）设椭圆C的方程为 +=1(a＞b＞0)，则由题意知b=1．…（2分）

∴=．∴a2=5．…（4分）

∴椭圆C的方程为 +y2=1．…（5分）

（II）由（I）知，B（0，1），F（1，0）

假设存在直线l，使得F可以为△BMN的重心，

设A（x0，y0）为MN的中点，

则=(1，-1)．=(x 0-1，y 0)，

于是由=2得：

从而x0=，y0=-

∴+=+＞1

这表明点A在椭圆外，这与A为弦的中点矛盾，

∴不存在直线l，使得F为△BMN的重心．

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题型：简答题

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简答题

已知圆O：x2+y2=4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足=λ（λ为参数）．

（1）若|AB|=，求直线l的方程；

（2）若λ=2，求直线l的方程；

（3）求实数λ的取值范围．

正确答案

（I）当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足条件．故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入圆的方程，

整理得（1+k2）x2+2kx-3=0，

利用弦长公式可求得直线方程为y=x+1或y=-x+1．

（II）当直线l的斜率不存在时，=3或=，不满足条件，故可设所求直线l的方程为y=kx+1

代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx-3=0，（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，

由=2可得x1=-2x2 ，则有．

（1）2÷（2）得=，解得k=±，

所以直线l的方程为y=±x+1．

（III）当直线l的斜率不存在时，=3或=，λ=3或或λ=，

当直线l的斜率存在时可设所求直线l的方程为y=kx+1，代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx-3=0，（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，

由=λ可得x1=-λx2 ，

则有，（3）2÷（4）得=，

而=-∈[0，)，由0≤＜，可解得＜λ＜3，

所以实数λ的取值范围为≤λ≤3．

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题型：简答题

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简答题

△ABC的三个顶点为A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：

（1）BC所在直线的方程；

（2）BC边上中线AD所在直线的方程；

（3）BC边上的垂直平分线DE的方程．

正确答案

（1）因为直线BC经过B（2，1）和C（-2，3）两点，由两点式得BC的方程为y-1=（x-2），即x+2y-4=0．

（2）设BC中点D的坐标为（x，y），则x==0，y==2．

BC边的中线AD过点A（-3，0），D（0，2）两点，由截距式得AD所在直线方程为+=1，即2x-3y+6=0．

（3）BC的斜率k1=-，则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2．

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题型：填空题

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填空题

平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，命题：

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；

③如果与都是有理数，则直线必经过无穷多个整点；

④如果直线经过两个不同的整点，则必经过无穷多个整点；

⑤存在恰经过一个整点的直线；

其中的真命题是（写出所有真命题编号）．

正确答案

①④⑤

试题分析：不与坐标轴平行的直线中横坐标为整数时，纵坐标为分数，同理纵坐标为整数时，横坐标为分数，即不经过任何整点，所以①正确，③不正确. 直线中与都是无理数，但经过唯一一个整数点所以②不正确，⑤正确.设直线经过整数点则直线必经过点由于不同时成立，所以点有无数个.

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题型：简答题

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简答题

（1）直线经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等，求直线方程；

（2）设直线ax-y+3=0与圆（x-1）2+（y-2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，求a值．

正确答案

（1）设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），∴l的方程为y=x，即2x-3y=0．

若a≠0，则设l的方程为+=1，∵l过点（3，2），∴+=1，∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0．

综上可知，直线l的方程为 2x-3y=0，或x+y-5=0．

（2）圆心（1，2），半径r=2，设圆心到直线的距离为d，则由垂径定理知d2=r2-()2=4-3=1，

∴d=1，∴d==1，解得a=0，故所求的a值是0．

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题型：填空题

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填空题

若直线与直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=______．

正确答案

直线x-2y+5=0的斜率为

直线2x+my-6=0的斜率为-

∵两直线垂直

∴×(-)=-1

解得m=1

故答案为：1

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