直线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

直线(m+3)x+my－2=0与直线mx－6y+5=0互相垂直，则m= .

正确答案

0或3

试题分析：两直线互相垂直，系数满足

点评：两直线垂直斜率相乘等于-1，或一条直线斜率不存在另一条直线斜率为0

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题型：填空题

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填空题

若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则的最小值为__________；

正确答案

4

圆心到直线的距离为，

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题型：简答题

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简答题

已知直线：与直线：没有公共点，求实数的值.

正确答案

由题意得两直线平行，则：

（1）若则直线的方程为，直线的方程为，

此时两直线平行，符合题意；

（2）若则直线的方程为，

直线的方程为，

由两直线平行得：

且　解得

综上，所求实数

略

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题型：简答题

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简答题

(本题满分10分)

已知三角形的三个顶点是.

(1)求边上的高所在直线的方程.

(2)设三角形两边的中点分别为，试用坐标法证明：∥且.

正确答案

(1)∵ ………………1分

∴边上的高所在直线的斜率为2 ……………… 2分

∴边上的高所在直线的方程为：y=2x ……………………4分

(2) 由条件得，

∴. ………………7分

∵,不重合. . ………………10分

略

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题型：简答题

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简答题

设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D。

（1）求点D的坐标；

（2）当△ABC的面积等于1时, 求实数a的值。

（3）当时，求△ABC的面积的取值范围。

正确答案

（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))，

所以由中点公式得D(a+2, log2 )。（4分）

（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2,

其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。

由S△ABC= log2="1," 得 a=2－2。（9分）

（3）S△ABC= log2=

由于，

略

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题型：简答题

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简答题

已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求

（１）顶点的坐标；

（２）直线的方程．

正确答案

（1）的坐标为（2）

（１）由题意，得直线的方程为．

解方程组得点的坐标为．

（２）设，则．

于是有，即．

与联立，解得点的坐标为．

于是直线的方程为．

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题型：简答题

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简答题

根据下列条件求直线方程

（1）过点（2，1）且倾斜角为的直线方程；

（2）过点（-3，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程.

正确答案

(1) (2);.

(1)由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为.再根据直线过点（2,1）可写出直线的点斜式方程，最后化为一般式；

（2）直线在两坐标轴截距相等，有两类：过原点或斜率为-1.设直线方程为或，把点（-3,2）代入求出直线方程.

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题型：简答题

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简答题

( 本小题满分12分)

已知直线：与：的交点为．

(1)求交点的坐标；

(2)求过点且平行于直线：的直线方程；

(3)求过点且垂直于直线：直线方程.

正确答案

（1）；（2）；（3）.

(1)解方程组可得交点坐标。

（2）因为与平行,所以斜率相等，然后可以写出点斜式方程，再化成一般式方程即可。

(3)根据两直线垂直，斜率之积为-1,可求出所求直线的斜率，因而可以写出点斜式方程，再化成一般式方程即可。

解:(1)由解得

所以点的坐标是……………………………………4分

(2)因为所求直线与平行，

所以设所求直线的方程为．

把点的坐标代入得，得．

故所求直线的方程为．………………………………………8分

(3)因为所求直线与垂直，

所以设所求直线的方程为．

把点的坐标代入得，得．

故所求直线的方程为． …………………12分

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题型：填空题

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填空题

在直线有一点，使它到原点的距离等于它到直线的距离，则点的坐标是_______.

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（12分）已知直线l与直线的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形面积等于24，求直线l的方程.

正确答案

直线l的方程是. …

解：因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，……（3分）

设直线l的方程为，令，得，令，得，……（7分）

由于直线与两坐标轴围成的三角形面积是24，

则，解得，……（10分）

所以直线l的方程是. ………………………………………………（12分）

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题型：简答题

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简答题

正方形的中点在原点，若它的一条边所在的直线方程为3x+4y-5=0.求这个正方形的其他边所在的直线的方程.

正确答案

3x+4y+5=0,4x-3y+5=0,4x-3y-5=0.

根据正方形的性质可设已知直线对边的直线方程为3x+4y+λ1=0，

与已知直线邻边的直线方程为4x-3y+λ2=0.

由于正方形中心到四边距离相等，

故,∴λ1=5(λ1=-5时与所给直线重合)，λ2=±5,

故所求的直线方程分别为3x+4y+5=0,4x-3y+5=0,4x-3y-5=0.

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题型：简答题

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简答题

已知点P(6，4)与定直线l1:y=4x,直线l2过点P与直线l1相交于第一象限内的点Q，且与x轴的正半轴交于点M，求使△OMQ面积最小的直线l2的方程.

正确答案

l2的直线方程为x+y－10=0.

设M(m,0)，则直线l2的方程为

4x+(m－6)y－4m="0. " (*)

与y=4x联立方程组，得yQ=.

∵yQ＞0,且m＞0,

∴S△OMQ=·m·yQ=，且m－5＞0.

令m－5=t，则t＞0,

∴S△OMQ==2(10+t+)

≥2(10+2)=40.

当且仅当t=，即t=5时，S△OMQ取最小值40.

此时，m=10.把m=10代入(*)式，得

l2的直线方程为x+y－10=0.

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题型：简答题

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简答题

下面三条直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x－3my=4不能构成三角形.求m的取值范围.

正确答案

m=－1,－,,4.

三条直线既不共点又不平行才能构成三角形.

(1)三直线共点时，由

解得代入l3得m=或m=－1.

(2)至少两条直线平行或重合时，l1、l2、l3至少两条直线斜率相等.

∵k=－4,k=－m,k=,

∴－4=－m或=－4或－m=.

∴m=4或m=－.

综合(1)(2)可知m=－1,－,,4.

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题型：简答题

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简答题

设经过原点O的两直线的倾斜角分别是，点A在上，点B在上，且，（1）若P为线段AB的中点，求点P的轨迹方程（2）若P为线段AB的中点, 定点，且，求点P

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ) 或

解：（1）由已知得直线：，，设AB中点坐标为P，点A，B坐标分别为，，所以

分别在直线和上，，……2分

两式相加得：

两式相减得：…4分

又因为

整理得： ……6分

（2）设P点坐标为，点A，B坐标分别为，，所以

分别在直线和上，，

两式相加得：，

两式相减得：，

或……8分

又因为

时，代入上式得：所以P点坐标为

时，带入上式得：，所以P点坐标为……10分

综上，所求点P的坐标为或 …12分

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题型：简答题

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简答题

求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x、y轴上的截距.

正确答案

令y=0，则x=，于是直线在x轴上的截距为.

令x=0，则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y轴的截距为：

当k=时，直线在y轴上的截距不存在；

当k≠时，直线在y轴上的截距为.

按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x的取值即为直线在x轴上的截距;令x=0,则y的取值即为直线在y轴上的截距. 本题容易忽视对y轴截距是否存在的讨论,即忽视了k=的情形而造成错解.事实上，当k=时，分式无意义，此时的直线在y轴上的截距不存在.

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