- 直线与方程
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求过两直线l1:x+y+1=0与l2:5x-y-1=0的交点,且与直线3x+2y+1=0的夹角为45o的直线的方程.
正确答案
x+5y+5=0或5x-y-1=0
设所求直线的方程为:x+y+1+k(5x-y-1)=0
即:(1+5k)x+(1-k)y+1-k=0
∵所求直线与直线3x+2y+1=0的夹角为45o
∴tg45o==1,解得k=
,∴所求直线方程为x+5y+5=0
又直线l2:5x-y-1=0与直线3x+2y+1=0的夹角也是45o,∴l2也符合条件
综上,所求直线的方程为:x+5y+5=0或5x-y-1=0.
已知四边形的顶点为
,
,
,
,求证四边形
为矩形.
正确答案
证明见解析
由已知得边所在的直线的斜率
,
边所在的直线的斜率
,
边所在的直线的斜率
,
边所在的直线的斜率
.
因为,所以
;
同理,,
,因此四边形
为矩形.
直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a=___________.
正确答案
直线垂直条件即可得到答案
对于任给的实数,直线
都通过一定点,则该定点坐标为 .
正确答案
试题分析:将原式整理为,不过
为何值,必过直线
的交点,解得:
所以定点坐标为
直线l经过点(3,0),且与直线l′:x+3y-2=0垂直,则l的方程是______________.
正确答案
3x-y-9=0
直线l′:x+3y-2=0的斜率为k′=-,由题意,得k′k=
k=-1,则k=3.所以l的方程为y=3(x-3),即3x-y-9=0.
曲线、
与直线
所围成的面积是
正确答案
本题考查定积分
如图示,由得
,即
则曲线、
与直线
所围成的面积
因为,所以
的原函数为
,所
;
又,所以
的原函数为
,所以
曲线、
与直线
所围成的面积是
即
已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段长为5,则直线l的方程为___________.
正确答案
x=3或y=1
设直线l与l1、l2分别交于A(x1、y1)、B(x2、y2).则
x1+y1+1=0,x2+y2+6=0.
两式相减得(x1-x2)+(y1-y2)=5.①
又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25.②
解①②得x1-x2=5,y1-y2=0或x1-x2=0,y1-y2=5.
故直线l的倾斜角为0°或90°.
答案:x=3或y=1
已知两点和
,在直线
上取一点
,使
最小,则
的值为 .
正确答案
先求点关于
的对称点
,则
的方程为
,其与
的交点为
,
.
两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离为________.
正确答案
在直线x+3y-4=0上取点P(4,0),则点P(4,0)到直线2x+6y-9=0的距离d即为两平行直线之间的距离.d=
求经过点A(-2,2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程.
正确答案
x-y+4=0
(解法1)设所求直线方程为=1(a<0,b>0),
∵=1,∴a=
.又a<0,∴b>2.S△=-
ab=-
=(b+2)+
=
+4≥2
+4=8.当且仅当b-2=
,即b=4时S最小.此时a=-4,b=4,故x-y+4=0为所求直线方程.
(解法2)设所求直线方程为y-2=k(x+2),显然k>0,由题意,S△=|2k+2|·
=4+2(k+
)≥8.当且仅当k=1时取等号,故x-y+4=0为所求直线方程.
直线与
平行,则
正确答案
1
试题分析:两条直线平行,需要当
时,两条直线重合,所以
1.
点评:两条直线平行时,不要忘记验证两条直线是否重合.
在直角坐标系平面内,与点距离为
,且与点
距离为
的直线条数共有 条.
正确答案
3
略
两平行线间的距离是_ _。
正确答案
试题分析:根据两平行线间的距离公式可知.
.
已知点,
的坐标分别是
,
.直线
,
相交于点
,且它们的斜率之积为
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)若过点的两直线
和
与轨迹
都只有一个交点,且
,求
的值;
(3)在轴上是否存在两个定点
,
,使得点
到点
的距离与到点
的距离的比恒为
,若存在,求出定点
,
;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1)轨迹的方程为
(2)
(3)存在定点,
或
,
试题分析:解: (1)设点的坐标为
由题可知,即
,
化简得 ,
所以点的轨迹
的方程为
4分
(2)分四种情况讨论
情况一:当直线和
都与
相切时,直线
和
与轨迹
都只有一个交点。
设直线的方程为
,即
由可知直线
的方程为
,即
因为直线和
都与
相切,所以
解得
。 6分
情况二:当直线过点
,直线
过点
时,直线
和
与轨迹
都只有一个交点。
此时直线的斜率
,直线
的斜率
由知
,解得
。 7分
情况三:当直线过点
,直线
与
相切时,直线
和
与轨迹
都只有一个交点。
直线的斜率
,由
知直线
的斜率
故直线的方程为
,即
因为直线与
相切,所以
解得
。
情况四:当直线过点
,直线
与
相切时,直线
和
与轨迹
都只有一个交点。
直线的斜率
,由
知直线
的斜率
故直线的方程为
,即
因为直线与
相切,所以
解得
。 10分
综上所述:的值为
,1,
。
(3)假设存在定点,
,设
,
,
则化简整理得
(*) 11分
由于满足
,故(*)式可化为
12分
故解得
或
故存在定点,
或
,
,使得点
到点
的距离与到点
的距离的比为
。 14分
点评:主要是考查了直线与原点位置关系的运用,以及轨迹方程的求解,属于中档题。
在轴上的截距为2且斜率为1的直线方程为 .
正确答案
直线在轴上的截距为2,则直线经过点
,所以直线方程为
,即
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