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题型:简答题
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简答题

求过两直线l1x+y+1=0与l2:5x-y-1=0的交点,且与直线3x+2y+1=0的夹角为45o的直线的方程.

正确答案

x+5y+5=0或5x-y-1=0

设所求直线的方程为:x+y+1+k(5x-y-1)=0

即:(1+5kx+(1-k)y+1-k=0

∵所求直线与直线3x+2y+1=0的夹角为45o

∴tg45o==1,解得k=,∴所求直线方程为x+5y+5=0

又直线l2:5x-y-1=0与直线3x+2y+1=0的夹角也是45o,∴l2也符合条件

综上,所求直线的方程为:x+5y+5=0或5x-y-1=0.

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题型:简答题
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简答题

已知四边形的顶点为,求证四边形为矩形.

正确答案

证明见解析

由已知得边所在的直线的斜率边所在的直线的斜率

边所在的直线的斜率边所在的直线的斜率

因为,所以

同理,,因此四边形为矩形.

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题型:填空题
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填空题

直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a=___________.

正确答案

直线垂直条件即可得到答案

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题型:填空题
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填空题

对于任给的实数,直线都通过一定点,则该定点坐标为          .

正确答案

试题分析:将原式整理为,不过为何值,必过直线的交点,解得:所以定点坐标为

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题型:填空题
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填空题

直线l经过点(3,0),且与直线l′:x+3y-2=0垂直,则l的方程是______________.

正确答案

3x-y-9=0

直线l′:x+3y-2=0的斜率为k′=-,由题意,得k′k=k=-1,则k=3.所以l的方程为y=3(x-3),即3x-y-9=0.

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题型:填空题
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填空题

曲线与直线所围成的面积是           

正确答案

本题考查定积分

如图示,由,即

则曲线与直线所围成的面积

因为,所以的原函数为,所

,所以的原函数为,所以

曲线与直线所围成的面积是

 

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题型:填空题
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填空题

已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段长为5,则直线l的方程为___________.

正确答案

x=3或y=1

设直线l与l1、l2分别交于A(x1、y1)、B(x2、y2).则

x1+y1+1=0,x2+y2+6=0.

两式相减得(x1-x2)+(y1-y2)=5.①

又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25.②

解①②得x1-x2=5,y1-y2=0或x1-x2=0,y1-y2=5.

故直线l的倾斜角为0°或90°.

答案:x=3或y=1

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题型:填空题
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填空题

已知两点,在直线上取一点,使最小,则的值为      

正确答案

先求点关于的对称点,则的方程为,其与的交点为

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题型:填空题
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填空题

两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离为________.

正确答案

在直线x+3y-4=0上取点P(4,0),则点P(4,0)到直线2x+6y-9=0的距离d即为两平行直线之间的距离.d=

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题型:简答题
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简答题

求经过点A(-2,2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程.

正确答案

x-y+4=0

(解法1)设所求直线方程为=1(a<0,b>0),

=1,∴a=.又a<0,∴b>2.S=-ab=-=(b+2)++4≥2+4=8.当且仅当b-2=,即b=4时S最小.此时a=-4,b=4,故x-y+4=0为所求直线方程.

(解法2)设所求直线方程为y-2=k(x+2),显然k>0,由题意,S|2k+2|·=4+2(k+)≥8.当且仅当k=1时取等号,故x-y+4=0为所求直线方程.

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填空题

直线平行,则       

正确答案

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试题分析:两条直线平行,需要时,两条直线重合,所以1.

点评:两条直线平行时,不要忘记验证两条直线是否重合.

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题型:填空题
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填空题

在直角坐标系平面内,与点距离为,且与点距离为的直线条数共有          条.

正确答案

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填空题

两平行线间的距离是_            _

正确答案

试题分析:根据两平行线间的距离公式可知..

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题型:简答题
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简答题

已知点,的坐标分别是.直线,相交于点,且它们的斜率之积为.

(1)求点的轨迹的方程;

(2)若过点的两直线与轨迹都只有一个交点,且,求的值;

(3)在轴上是否存在两个定点,,使得点到点的距离与到点的距离的比恒为,若存在,求出定点,;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)轨迹的方程为 

(2)

(3)存在定点

试题分析:解: (1)设点的坐标为

由题可知,即

化简得 

所以点的轨迹的方程为                                 4分

(2)分四种情况讨论

情况一:当直线都与相切时,直线与轨迹都只有一个交点。

设直线的方程为,即

可知直线的方程为,即

因为直线都与相切,所以 解得。             6分

情况二:当直线过点,直线过点时,直线与轨迹都只有一个交点。

此时直线的斜率,直线的斜率

,解得。                                       7分

情况三:当直线过点,直线相切时,直线与轨迹都只有一个交点。

直线的斜率,由知直线的斜率

故直线的方程为,即

因为直线相切,所以 解得

情况四:当直线过点,直线相切时,直线与轨迹都只有一个交点。

直线的斜率,由知直线的斜率

故直线的方程为,即

因为直线相切,所以 解得。               10分

综上所述:的值为,1,

(3)假设存在定点,,设

化简整理得(*)         11分

由于满足,故(*)式可化为        12分

解得                                

故存在定点,使得点到点的距离与到点的距离的比为。                                                              14分

点评:主要是考查了直线与原点位置关系的运用,以及轨迹方程的求解,属于中档题。

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题型:填空题
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填空题

轴上的截距为2且斜率为1的直线方程为               .   

正确答案

直线在轴上的截距为2,则直线经过点,所以直线方程为,即

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