热门试卷

由可得两直线的交点为（1，2）

（Ⅰ）∵直线l与直线x+3y-1=0垂直

∴直线l的斜率为3

则直线l的方程为3x-y-1=0          

（Ⅱ）当直线l过原点时，直线l的方程为2x-y=0

当直线l不过原点时，令直线l的方程为+=1

∵直线l过（1，2），

∴a=3

则直线l的方程为x+y-3=0

设直线l的方程为+=1，则A（a，0），B（0，b）．且a＞0，b＞0．

∵△AOB的面积等于6，∴ab=6，ab=12．

∵点P(2，)在直线l上，∴+=1，∴a=，代入ab=12，

可得b2-6b+9=0，∴b=3，a=4，

直线l的方程+=1，即3x+4y-12=0．

解：(1)直线L过点(3，-)且方向向量=(-2，)，

∴L的方程为：，即；

(2)设直线和椭圆交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)和x轴交点M(1，0)，

由，知y1=-2y2，

将代入b2x2+a2y2=a2b2中得，

由韦达定理，

∵有两交点，

∴Δ=，

化简得：5a2+4b2＞5，　③

由①②消去y2得：32b2=(4b2+5a2)(a2-1)，

即4b2=，④

将④代入③得：5a2+＞5，　⑤

可求得1＜a2＜9，

又椭圆的焦点在x轴上，则a2＞b2，

∴4b2=＜4a2，

综合解得：1＜a2＜，可求得：1＜a＜，

∴所求椭圆长轴长2a的范围是。

设P的坐标为（x，y），由题意有=，

即=•，

整理得x2+y2-6x+1=0，

因为点N到PM的距离为1，|MN|=2

所以PMN=30°，直线PM的斜率为±

直线PM的方程为y=±(x+1)

将y=±(x+1)代入x2+y2-6x+1=0整理得x2-4x+1=0

解得x=2+，x=2-

则点P坐标为(2+，1+)或(2-，-1+)(2+，-1-)或(2-，1-)

直线PN的方程为y=x-1或y=-x+1．

解：（1）由题意得直线BD的方程为

因为四边形为菱形，

所以

于是可设直线AC的方程为

由得

因为在椭圆上，

所以，解得

设两点坐标分别为，

则，，，

所以

所以AC的中点坐标为

由四边形为菱形可知，点在直线上，

所以，解得

所以直线AC的方程为，即。

（2）因为四边形为菱形，且，

所以

所以菱形的面积

由（1）可得，

所以

所以当时，菱形的面积取得最大值。

（1）∵y=x2，∴y'=2x，

∴切线l的方程是y-a2=2a（x-a），即2ax-y-a2=0；

（2）由2ax-y-a2=0，令y=0，解得x=，∴B(，0)；

令x=1，解得y=2a-a2；

∴|BD|=1-，|CD|=2a-a2，

∴S△BCD=|BD||CD|=(a3-4a2+4a)．

∴S(a)=x2dx-S△BCD=-(a3-4a2+4a)．

∴S′(a)=-(3a2-8a+4)=-(a-2)(3a-2)．

令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=．

当a∈(0，)时，S'（a）＜0；

当a∈(，1)时，S'（a）＞0．

∴a=时，S（a）有最小值．

由已知可设A（3b-10，b），B（a，-2a+8），因为P是AB的中点，

所以，，即，

所以a=4，b=2，即 A（-4，2），

再由P，A坐标，用两点式可求得直线l的方程为 =，即 x+4y-4=0．

由 得B（-4，0），

设AC边上的高为BD，由BD⊥CA，可知 BD的斜率等于 =，

用点斜式写出AC边上的高所在的直线方程为 y-0=（x+4 ），即 x-2y+4=0．

解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，

故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．

（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，

要使直线l不经过第四象限，则，

解得k的取值范围是k≥0．

（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，

在y轴上的截距为1+2k，

∴A（﹣，0），B（0，1+2k），

又﹣＜0且1+2k＞0，

∴k＞0，

故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，

当且仅当4k=，即k=时，取等号，S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．

设P的坐标为（x，y），由题意有=，

即=•，

整理得x2+y2-6x+1=0，

因为点N到PM的距离为1，|MN|=2

所以PMN=30°，直线PM的斜率为±

直线PM的方程为y=±(x+1)

将y=±(x+1)代入x2+y2-6x+1=0整理得x2-4x+1=0

解得x=2+，x=2-

则点P坐标为(2+，1+)或(2-，-1+)(2+，-1-)或(2-，1-)

直线PN的方程为y=x-1或y=-x+1．

（1）已知圆C：（x-1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x-1），即2x-y-2=0．

（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y-2=-（x-2），即x+2y-6=0．

（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2，即x-y=0．

圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．

解：（1）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x=1，

l与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意。

②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），

即kx-y-k+2=0

设圆心到此直线的距离为d，则

，得d=1

∴

故所求直线方程为3x-4y+5=0

综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1。

（2）设点M的坐标为（x0，y0）（y0≠0），Q点坐标为（x，y），

则N点坐标是（0，y0）

∵

∴（x，y）=（x0，2y0），

即x0=x，

又∵，

∴

∴Q点的轨迹方程是

轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆，除去短轴端点。

解：（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，

所以直线AD的斜率为-3

又因为点在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为

即。

（2）由解得点A的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为

所以M为矩形外接圆的圆心

又

从而矩形外接圆的方程为。

（3）因为动圆P过点N，

所以是该圆的半径，

又因为动圆P与圆M外切，

所以，

即

故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支

因为实半轴长，半焦距

所以虚半轴长

从而动圆P的圆心的轨迹方程为。

解：（1）设直线的方程为，

由题意，得，

解得：或，

所以，所求直线的方程为3x+y-9=0或3x+4y-18=0。

（2），

∴，当且仅当时，取等号，

所以，此时直线的方程为3x+2y-12=0。