- 直线与方程
- 共7398题
过点（1，2）且与直线x+2y-1=0平行的直线方程是______．
正确答案
设过点（1，2）且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+m=0，
把点（1，2）代入直线方程得，
1+4+m=0，m=-5，
故所求的直线方程为 x+2y-5=0，
故答案为：x+2y-5=0．
过点（2，-3）且与y轴垂直的直线方程为______．
正确答案
过点（2，-3）且与y轴垂直的直线的斜率为0，故直线的方程为 y+3=0（x-2），即 y=-3，
故答案为 y=-3．
已知点P是⊙O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使
正确答案
（1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x0，0）（1分）
∴
又
∵P在⊙O上，故x02+y02=9∴
∴点Q的轨迹方程为
（2）假设椭圆
又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆
∴
两式相减，得
∴kMN=
将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x2-104x-155=0则△＞0有实根
∴椭圆上存在点M、N满足
设x，y∈R，
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设
正确答案
（1）∵
∴|
设F1（0，-2），F2（0，2），动点M（x，y），可得|
∵|
∴点M（x，y）的轨迹C是以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点，长轴长为8的椭圆，
可得a=4，c=2，b2=a2-c2=12，
可得椭圆方程为
（2）由于直线l过点（0，3），故
①当直线l为y轴时，A、B为椭圆的顶点，可得
此时点P与原点重合，不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
由
此时△=（18k）2-4（4+3k2）•（-21）=576k2+336＞0恒成立
x1+x2=
∵
若四边形OAPB是菱形，则|
∵
∴x12+y12=x22+y22，化简得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0
可得l的斜率k=
解之得k=0，因此存在直线y=3，使得四边形OAPB为菱形．
如图，已知三角形的顶点为A（2，4），B（0，-2），C（-2，3），求：
（Ⅰ）AB边上的中线CM所在直线的一般方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
正确答案
（1）∵A（2，4），B（0，-2），C-2，3），
∴AB的中点M（1，1）
AB边上的中线CM过点（1，1）和（-2，3）
∴中线CM的斜率是k=
∴直线的方程是2x+3y-5=0
（2））∵A（2，4），B（0，-2），C-2，3），
∴AB=2
∴cosA=
∴sinA=
∴S△ABC=
设直线l1：3x+4y-5=0直线l2：2x-3y+8=0的交点M，求：
（1）过点M与直线l：2x+4y-5=0平行的直线方程；
（2）过点M且在y轴上的截距为4的直线方程．
正确答案
联立两直线方程可解得M（-1，2）
（1）设直线方程为2x+4y+c=0，将M（-1，2）代入可解得c=-6
所求的直线方程为2x+4y-6=0，即x+2y-3=0
（2）设直线方程为y=kx+4，将M（-1，2）代入可解得k═2
所求的直线方程为2x-y+4=0
求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．
正确答案
因为直线l经过点P（2，3），且在x轴，y轴上的截距相等，所以
（1）当直线l过原点时，它的方程为3x-2y=0；
（2）当直线不过原点时，设它的方程为
所以，直线l的方程为x+y-5=0．
综上，直线l的方程为3x-2y=0，或者x+y-5=0．
已知圆C：x2+y2+2x-4y+4=0
（1）过P（-2，5）作圆C的切线，求切线方程；
（2）斜率为2的直线与圆C相交，且被圆截得的弦长为
（3）Q（x，y）为圆C上的动点，求
正确答案
（1）圆C：x2+y2+2x-4y+4=0 即 （x+1）2+（y-2）2=1，表示以C（-1，2）为圆心，半径等于1的圆．
过P（-2，5）作圆C的切线，当切线斜率不存在时，切线方程为 x=-2．
当切线斜率存在时，设切线方程为 y-5=k（x+2），即 kx-y+2k+5=0．
由圆心到切线的距离等于半径，可得1=
故圆的切线方程为 x=-2，或4x+3y-7=0．
（2）斜率为2的直线与圆C相交，且被圆截得的弦长为
可设直线的方程为 y=2x+b，即 2x-y+b=0．
由 
（3）由于
由于圆心C（-1，2）到点（-3，-2）的距离等于2
故
经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是 ______．
正确答案
因为抛物线y2=2x的焦点为(
直线3x-2y+5=0的斜率为：
所求直线与该直线平行，故斜率为：
故所求直线l的方程为；y=
化为一般式得：6x-4y-3=0．
故答案为：6x-4y-3=0．
设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线ι的方程为______．
正确答案
抛物线的方程为y2=4x，A（x1，y1），B（x2，y2），
则有x1≠x2，
∴
∴直线l的方程为y-2=x-2，即y=x
故答案为：y=x
直线l经过点P（5，5），且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为4
正确答案
如图易知直线l的斜率k存在，
设直线l的方程为y-5=k（x-5）
圆C：x2+y2=25的圆心为（0，0）
半径r=5，圆心到直线l的距离d=
在Rt△AOC中，d2+AC2=OA2，
∴k=2或k=
一条直线经过点A（2，-3）并且与直线y=x平行，求这条直线的方程．
正确答案
∵直线y=x的斜率k=1，
∴所求直线斜率k′=1．
故过点（2，-3）且与已知直线平行的直线为y+3=1×（x-2），
即x-y-5=0．
过点A（1，-1）向直线l作垂线，垂足为B（-3，1）．求直线l与坐标轴围成的三角形的面积．
正确答案
因为A（1，-1），B（-3，1），
所以直线AB的斜率为 KAB=
设直线l的斜率为k，则k•kAB=-1，∴k=2（4分）
又直线l过点B（-3，1），
∴直线l的方程为：y-1=2（x+3），
即2x-y+7=0（8分）
直线l与坐标轴的交点坐标为（-
所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积S=
若过两点P（-
正确答案
过P和Q的直线的斜率k=
联立得：
2
3
3
)2-4×
故答案为
已知△OAB的顶点O（0，0）、A（2，0）、B（3，2），OA边上的中线所在直线为l．
（I）求l的方程；
（II）求点A关于直线l的对称点的坐标．
正确答案
（I）线段OA的中点为（1，0），
于是中线方程为
即y=x-1；
（II）设对称点为A′（a，b），
则
解得
即A′（1，1）．
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