热门试卷

解：（1）由题意，∵椭圆离心率为，右准线方程为x=2．

∴，

∴a=，c=1

∴b2=a2﹣c2=1

∴椭圆的标准方程为；

（2）由（1）知，（﹣1，0），（1，0）

若直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x=﹣1，

将x=﹣1代入椭圆方程可得y=不妨设M（﹣1，），N（﹣1，），

∴

∴，与题设矛盾，

∴直线l的斜率存在．

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1）

设M（，），N（，），与椭圆方程联立，消元可得（1+2k2）+4k2x+2k2﹣2=0

∴+=，

∴+=k（++2）=

∴

∴=+

==

∵

∴

∴40k4﹣23k2﹣17=0

∴k2=1（负值舍去）

∴k=±1

∴所求直线l的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1．

解：（Ⅰ）由题意可知，b=1，

又因为e=，且a2=b2+c2，解得a=2，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意可得：A（﹣2，0），B（2，0）．

设P（x0，y0），由题意可得：﹣2＜x0＜2，

所以直线AP的方程为，令，则，

即；

同理：直线BP的方程为，

令，则，

即；

所以=而，

即4y02=4﹣x02，代入上式，

所以|DE|·|DF|=1，

所以|DE|·|DF|为定值1．

解：（1）设椭圆方程为，

由题意得，

∴，∴，

所以所求椭圆的标准方程为。

（2）将直线L：y=x+b代入椭圆中有，

由得，

由韦达定理得，

∴，

又点O到直线L的距离，

∴，

∴当（满足）时，有最大值，此时，

∴所求的直线方程为。

解：（1）∵F1到直线x=的距离为，

∴，

∴a2=4，

而c=，

∴b2=a2-c2=1，

∵椭圆的焦点在x轴上，

∴所求椭圆的方程为+y2=1；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），

∵|F2B|=3|F2A|，

∴ ，

∵A、B在椭圆+y2=1上，

∴

∴

∴l的斜率为，

∴l的方程为y=，即=0。

解：（1）；

（2），

，

所以，

令，

令，

当时，三角形面积最大为3，

此时直线l方程为x=1。

解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为，

由，即，a=2c，得b2=a2-c2=3c2，

∴椭圆方程具有形式，

将A(2，3)代入上式，得解得c=2，

∴椭圆E的方程为。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(-2，0)，F2(2，0)，

所以直线AF1的方程为，即3x-4y+6=0，

直线AF2的方程为x=2，

由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数，

设P(x，y)为l上任一点，则，

若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0(因其斜率为负，舍去)，

于是，由3x-4y+6=-5x+10得2x-y-1=0，

所以直线l的方程为2x-y-1=0．

(Ⅲ)假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2，y2)，

，

∴，

设BC的中点为M(x0，y0)，则，

由于M在l上，故2x0-y0-1=0， ①

又B，C在椭圆上，所以有与，

两式相减，得，

即，

将该式写为，

并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中，

得，即3x0-2y0=0， ②

①×2-②得x0=2，y0=3，

即BC的中点为点A，而这是不可能的，

∴不存在满足题设条件的点B和C。

解：(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，得点D的坐标为D(x0，0)，

所以，

又，

所以，即，

因为P在⊙O上，故，

所以，

所以Q点的轨迹方程为。

(2)假设椭圆上存在不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足，

则E(1，1)是线段MN的中点，且有，即，

又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，

所以，

两式相减，得，

所以，

则直线MN的方程为4x+9y-13=0，

所以动点Q的轨迹上存在点M，N满足，

此时直线MN的方程为4x+9y-13=0．

解：（1）设⊙M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则由题设，得解得

∴M的方程为，

∴M的标准方程为；

（2）①⊙M与x轴的两个交点，，

又B（b，0），D（﹣b，0），

由题设即

所以

解得，即．

所以椭圆离心率的取值范围为；

 ②由（1），得．

由题设，得．

∴，．

∴直线MF1的方程为，①

直线DF2的方程为．②

由①②，得直线MF1与直线DF2的交点，易知为定值，

∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上．

解：（Ⅰ）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2，

∴b=c，

∴，

∴，

∴；

（ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得，

∴，

∴，

∴；

（Ⅱ）设，则，

整理得，

，

∴PA方程为：，

PB方程为：，

∴，

∴，

直线AB方程为，

令x=0，得，令y=0，得，

∴，

∴为定值，定值是。

解：(Ⅰ)由题意知，，则有与相似，

所以，，

设，

则有，解得，

所以，，

根据椭圆的定义，得，

∴，即，

所以，，

显然在上是单调减函数，

当时，e2取得最大值，

所以，椭圆C离心率e的最大值为。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，解得：a2=4，

所以此时椭圆C的方程为，

由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，

则其方程为，

设，由于，

所以有，

∴，

又Q是椭圆C上一点，则，

解得：k=±4，

所以直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0。

解：（1）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：，

∴b=c，

∴，

即，

∴。

（ⅱ）由及圆的性质，可得，

∴，

∴，，

∴。

（2）设，则，

整理，得，

，

∴PA的方程为：，

PB的方程为：，

令，得；

令y=0，得，

∴，

∴是定值，定值为。

解：（1）设椭圆的方程为，F2（c，0）

∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，

∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，

即

∵c2=a2-b2，

∴a2=5b2，c2=4b2，

∴ 

在△AB1B2中，OA⊥B1B2，

∴S= |B1B2||OA|= 

∵S=4，

∴b2=4，

∴a2=5b2=20

∴椭圆标准方程为 ；

（2）由（1）知B1（﹣2，0），B2（2，0），

由题意，直线PQ的倾斜角不为0，

故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，

消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0

①设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴，

∵，

∴=

∵PB2⊥QB2，

∴

∴，

∴m=±2。

解：（1）∵椭圆C1：的离心率为，

一个焦点坐标为，

∴，∴a=2，c=，b=，

∴椭圆C1的方程为：．

（2）∵N是椭圆C1：的左顶点，点P是椭圆C1上不同于点N的任意一点，

∴N（﹣2，0），椭圆右准线：x=，

设P（x，y），则=，

∵﹣2≤x≤2，∴=∈[，+∞）．

故的取值范围是[，+∞）．

（3）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．

由，解得，或．

则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．

又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣）．

于是S1=|MA||MB|=|k1||﹣|=．

由，得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．

解得，或，

则点D的坐标为（，）．

又直线ME的斜率为﹣．

同理可得点E的坐标为（，）．

于是S2=|MD||ME|=．

故=，

解得k12=2，或k12=．

又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．

所以k=±．

故满足条件的直线存在，且有两条，

其方程为y=x和y=﹣．