- 直线与方程
- 共7398题
已知椭圆的中心在坐标原点O,长轴长为,离心率
,过右焦点F的直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积;
(3)若以OP,OQ为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线l的方程.
正确答案
解:(1)由已知,椭圆方程可设为.
∵长轴长为,离心率
,
∴.
所求椭圆方程为.
(2)因为直线l过椭圆右焦点F(1,0),且斜率为1,
所以直线l的方程为y=x﹣1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由得3y2+2y﹣1=0,
解得.
∴.
(3)当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=1,
此时∠POQ小于90°,
OP,OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形.
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x﹣1).
由可得
(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0.
∴.
∵y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1)
∴
因为以OP,OQ为邻边的平行四边形是矩形.
由得
k2=2,
∴.
∴所求直线的方程为.
如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率为
,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,B为椭圆的上顶点且△BF1F2的周长为4+2
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在这样的直线使得直线l与椭圆交于M,N两点,且椭圆右焦点F2恰为△BMN的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明由..
正确答案
解:(1)∵椭圆(a>b>0)的离心率为
,∴
①
∵△BF1F2的周长为4+2,∴
②
由①②可得,
∴
∴椭圆的方程为;
(2)假设存在直线使得直线l与椭圆交于M,N两点,且椭圆右焦点F2恰为△BMN的垂心设M(x1,y1),N(x2,y2),
∵B(0,1),F2(,0),
∴kMF2=﹣,∴kMN=
设l的方程为y=,代入
消元可得13x2+8
mx+4(m2﹣1)=0
∴x1+x2=﹣,
③
∵,
,
∴=
=4x1x2+
④
③代入④,可得4×﹣
∴(m﹣1)(5m+16)=0
∴m=1,或m=﹣
经检验,当m=1时直线l经过点B,不能构成三角形,故舍去
∴存在直线l:满足条件.
已知△ABC的顶点A,B在椭圆上,C在直线
:y=x+2上,且AB∥
。
(Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;
(Ⅱ)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程。
正确答案
解:(Ⅰ)因为AB∥,且AB边通过点(0,0),
所以AB所在直线的方程为y=x,
设A,B两点坐标分别为,
由得
,
所以,
又因为AB边上的高h等于原点到直线的距离,于是
,
所以。
(Ⅱ)设AB所在直线的方程为y=x+m,
由得
,
因为A,B在椭圆上,所以,
设A,B两点的坐标分别为,
则,
,
所以,
又因为BC的长等于点(0,m)到直线的距离,即
,
所以,
所以当m=-1时,AC边最长,(这时),
此时AB所在直线的方程为y=x-1。
已知椭圆的左、右焦点分别为
,
, 点
是椭圆的一个顶点,△
是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆
上一动点,求线段
的中点
的轨迹方程;
(3)过点分别作直线
,
交椭圆于
,
两点,设两直线的斜率分别为
,
,且
,探究:直线
是否过定点,并说明理由.
正确答案
解:(1)由已知可得 ,
所求椭圆方程为.
(2)设点,
的中点坐标为
,
则
由,
得
,代入上式 ,得
(3)若直线的斜率存在,
设方程为
,依题意
.
设,
,
由 得
.
则.
由已知,
所以,即
.
所以,整理得
.
故直线的方程为
,即
(
)
.
所以直线过定点(
).
若直线的斜率不存在,
设方程为
,
设,
,
由已知,得
.
此时方程为
,显然过点(
).
综上,直线过定点(
).
已知椭圆,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率。
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,,求直线AB的方程。
正确答案
解:(1)椭圆的长轴长为4,离心率为
∵椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率
∴椭圆C2的焦点在y轴上,2b=4,为
∴b=2,a=4
∴椭圆C2的方程为;
(2)设A,B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),
∵
∴O,A,B三点共线,且点A,B不在y轴上
∴设AB的方程为y=kx
将y=kx代入,消元可得(1+4k2)x2=4,
∴
将y=kx代入,消元可得(4+k2)x2=16,
∴
∵,
∴=4
,
∴,解得k=±1,
∴AB的方程为y=±x。
如图,椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直线l,使点F恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
正确答案
解.(1)如图建系,设椭圆方程为,则c=1
又∵即(a+c)(a﹣c)=1=a2﹣c2,
∴a2=2
故椭圆方程为
(2)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且F恰为△PQM的垂心,
则设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵M(0,1),F(1,0),
故kPQ=1,
于是设直线l为y=x+m,
由得3x2+4mx+2m2﹣2=0
∵
又yi=xi+m(i=1,2)
得x1(x2﹣1)+(x2+m)(x1+m﹣1)=0
即2x1x2+(x1+x2)(m﹣1)+m2﹣m=0
由韦达定理得
解得或m=1(舍)
经检验符合条件
如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C1:y=x2-1(|x|<1)上一点M的切线l,与曲线C2:y=(|x|<1)也相切于点N,记点M的横坐标为t(t>1)。
(1)用t表示m的值和点N的坐标;
(2)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求此时MN所在直线的方程。
正确答案
解:(1)切线,即
,
代入,
化简并整理得,(*),
由,
得m=0或。
若m=0,代入(*)式得,与已知
矛盾;
若,代入(*)式得,
满足条件,
且;
综上,,点N的坐标为
。
(2)因为,,
,
若∠MAB=∠NAB,则,即t=2,此时m=9,
故当实数m=9时,∠MAB=∠NAB,
此时,,∠MAB=∠NAB=45°,
易得M(2,3),,
所以,此时MN所在直线的方程为y=4x-5。
已知椭圆上任一点P,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M在PQ上,且
,点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点作直线l与曲线C交于A、B两点,设N是过点
且平行于x轴的直线上一动点,满足
(O为原点),且四边形OANB为矩形,求出直线l的方程.
正确答案
(1)设是曲线C上任一点,PM⊥x轴,
,
所以点P的坐标为,
点P在椭圆上,所以
,
因此曲线C的方程是
(2)当直线l的斜率不存在时,显然不满足条件,
所以设直线l的方程为,
直线l与椭圆交于,
N点所在直线方程为,
由 得
,
由得
,即
或
因为,四边形OANB为平行四边形
又因OANB是矩形,则,
所以
设,由
得
,
即N点在直线,四边形OANB为矩形,
直线l的方程为
已知F1、F2是椭圆的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B与点A关于原点对称,AF2﹣F1F2=0,若椭圆的离心率等于
(Ⅰ)求直线AB的方程;
(Ⅱ)若△ABF2的面积等于4,求椭圆的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
正确答案
解:(Ⅰ)由知AF2⊥F1F2∵椭圆离心率等于
,
所以c=a,b2=
a2,
故椭圆方程可以写成x2+2y2=a2,
设A(c,yA),代入方程得yA=a,
所以A(a,
a),
故直线AB的斜率k=,
因此直线AB的方程为y=
(Ⅱ)连接AF1、BF1,由椭圆的对称性可知S△AEF1=S△AEF1=S△AF1F2,
所以
故椭圆方程为
(Ⅲ)由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|=2=4
假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8,
设点M到直线AB的距离为d,则应有,
所以d=4
设M所在直线方程为x﹣2y±4
=0
与椭圆方程联立消去x得方程4y2±8y+32=0
即y2±2y+8=0,
∵△=(±2)2﹣4×8<0
故在椭圆上不存在点M使得△MAB的面积等于8
已知圆C的方程为,过点
作圆C的两条切线,切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆
的右顶点和上顶点。
(1)求椭圆T的方程;
(2)是否存在斜率为的直线l与曲线T交于P、Q两不同点,使得
(O为坐标原点),若存在,求出直线l的方程,否则,说明理由。
正确答案
解:(1)由题意:一条切线方程为:,
设另一条切线方程为:
则:,解得:
,
此时切线方程为:
切线方程与圆方程联立得:,
则直线的方程为
令,解得
,
∴;
令,得
,
∴
故所求椭圆方程为
(2)设存在直线
满足题意,联立
整理得,
,
,
则∴,
,
,
即
由,得:
所以,不满足
因此不存在直线满足题意。
已知椭圆的离心率为
,过右焦点F的直线
与
相交于
、
两点,当
的斜率为1时,坐标原点
到
的距离为
(I)求,
的值;
(II)上是否存在点P,使得当
绕F转到某一位置时,有
成立?若存在,求出所有的P的坐标与
的方程;若不存在,说明理由。
正确答案
解:(I)设,直线
,
由坐标原点到
的距离为
则
,
解得 .
又.
(II)由(I)知椭圆的方程为.
设、
由题意知
的斜率为一定不为0,
故不妨设 代入椭圆的方程中
整理得,
显然。
由韦达定理有:
①.假设存在点P,使成立,
则其充要条件为:点,点P在椭圆上,
即。
整理得。
又在椭圆上,即
.
故
②将及①代入②
解得
,
=
,
即.
当;
当.
圆有如下两个性质:(1)圆上任意一点与任意不过该点的圆的直径的两端点的连线的斜率(若斜率存在)之积为定值-1;(2)圆的任意一条弦的中点与圆心的连线的斜率(若斜率存在)与该弦的斜率(若斜率存在)之积为定值-1。
(Ⅰ)试探究:椭圆上的任意一点与任意过椭圆中心但不过该点的弦的端点连线的斜率(若斜率存在)之积是否为定值,若是请求出该定值;
(Ⅱ)写出类比圆的性质(2)得到的椭圆的类似性质,并证明之。
正确答案
解:(Ⅰ)设为椭圆上的任意一点,AB为椭圆的任意一条过中心的弦,且
,则
,
则:,
,
两式作差得:;
,
,
则,
则椭圆上的任意一点与任意过椭圆中心的弦的端点连线的斜率之积为定值。
(Ⅱ)椭圆的任意一条弦的中点与椭圆中心的连线的斜率(若斜率存在)与该弦的(若斜率存在)之积为定值
。
证明:设AB为椭圆的任意一条不平行与坐标轴的弦,,AB中点
,椭圆中心O,AB的方程为
,
联立
并整理得:,
由韦达定理:,
则:,
,
。
双曲线的一条渐近线方程是
,坐标原点到直线AB的距离为
,其中A(a,0),B(0,﹣b).
(1)求双曲线的方程;
(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N,求时,直线MN的方程.
正确答案
解:(1)∵A(a,0),B(0,﹣b),
∴设直线AB:
∴,∴
,
∴双曲线方程为:.
(2)∵双曲线方程为:,
∴,设P(x0,y0),
∴,
,
∴=
=3.
B(0,﹣3)B1(0,3),
设M(x1,y1),N(x2,y2)
∴设直线l:y=kx﹣3,
∴,
∴3x2﹣(kx﹣3)2=9.(3﹣k2)x2+6kx﹣18=0,
∴
k2=5,即代入(1)有解,
∴.
已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点,弦AB的中点坐标为M(1,1),求直线AB的方程.
正确答案
解:设通过点M(1,1)的直线方程为y=k(x﹣1)+1,
代入椭圆方程,整理得(9k2+4)x2+18k(1﹣k)x+9(1﹣k)2﹣36=0
设A、B的横坐标分别为x1、x2,则
解之得
故AB方程为4x+9y﹣13=0.
已知矩形ABCD中,,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系
xOy.
(1)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的标准方程;
(2)过点P(0,2)的直线l与(1)中的椭圆交于M,N两点,是否存在直线l,使得以线段MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
正确答案
解:(Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.设椭圆的标准方程是
.则2a=AC+BC,即
,
所以a=2.
所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2.
所以椭圆的标准方程是.
(Ⅱ)由题意知,直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=kx+2.
由得(1+2k2)x2+8kx+4=0.因为M,N在椭圆上,
所以△=64k2﹣16(1+2k2)>0.
设M,N两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
则,
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以x1x2+y1y2=0,
所以,x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0,即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,所以,,即
,得k2=2,
经验证,此时△=48>0.
所以直线l的方程为,或
.即所求直线存在,其方程为
.
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