热门试卷

解：（1）由已知，椭圆方程可设为．

∵长轴长为，离心率，

∴．

所求椭圆方程为．

（2）因为直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，

所以直线l的方程为y=x﹣1．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由得3y2+2y﹣1=0，

解得．

∴．

（3）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，

此时∠POQ小于90°，

OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．

由可得

（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．

∴．

∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）

∴

因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形．

由得

k2=2，

∴．

∴所求直线的方程为．

解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，∴①

∵△BF1F2的周长为4+2，∴②

由①②可得，

∴

∴椭圆的方程为；

（2）假设存在直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F2恰为△BMN的垂心设M（x1，y1），N（x2，y2），

∵B（0，1），F2（，0），

∴kMF2=﹣，∴kMN=

设l的方程为y=，代入消元可得13x2+8mx+4（m2﹣1）=0

∴x1+x2=﹣，③

∵，，

∴==4x1x2+④

③代入④，可得4×﹣

∴（m﹣1）（5m+16）=0

∴m=1，或m=﹣

经检验，当m=1时直线l经过点B，不能构成三角形，故舍去

∴存在直线l：满足条件．

解：（Ⅰ）因为AB∥，且AB边通过点（0，0），

所以AB所在直线的方程为y=x，

设A，B两点坐标分别为，

由得，

所以，

又因为AB边上的高h等于原点到直线的距离，于是，

所以。

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，

由得，

因为A，B在椭圆上，所以，

设A，B两点的坐标分别为，

则，，

所以，

又因为BC的长等于点（0，m）到直线的距离，即，

所以，

所以当m=-1时，AC边最长，（这时），

此时AB所在直线的方程为y=x-1。

解：（1）由已知可得 ，                    

所求椭圆方程为．                              

（2）设点，的中点坐标为,

则                                               

由,得，代入上式  ，得                                                

（3）若直线的斜率存在，

设方程为，依题意．

设，，

由 得 ．      

则．                        

由已知，

所以，即．                                

所以，整理得 ．

故直线的方程为，即（）．

所以直线过定点（）．                            

若直线的斜率不存在，

设方程为，

设，，

由已知，得．

此时方程为，显然过点（）．

综上，直线过定点（）．             

解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为

∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率

∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为

∴b=2，a=4

∴椭圆C2的方程为；

（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），

∵

∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上

∴设AB的方程为y=kx

将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，

∴

将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，

∴

∵，

∴=4，

∴，解得k=±1，

∴AB的方程为y=±x。

解．（1）如图建系，设椭圆方程为，则c=1

又∵即（a+c）（a﹣c）=1=a2﹣c2，

∴a2=2

故椭圆方程为

（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，

则设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵M（0，1），F（1，0），

故kPQ=1，

于是设直线l为y=x+m，

由得3x2+4mx+2m2﹣2=0

∵

又yi=xi+m（i=1，2）

得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0

即2x1x2+（x1+x2）（m﹣1）+m2﹣m=0

由韦达定理得

解得或m=1（舍）

经检验符合条件

解：（1）切线，即，

代入，

化简并整理得，（*），

由，

得m=0或。

若m=0，代入（*）式得，与已知矛盾；

若，代入（*）式得，满足条件，

且；

综上，，点N的坐标为。

（2）因为，，，

若∠MAB=∠NAB，则，即t=2，此时m=9，

故当实数m=9时，∠MAB=∠NAB，

此时，，∠MAB=∠NAB=45°，

易得M（2，3），，

所以，此时MN所在直线的方程为y=4x-5。

(1)设是曲线C上任一点，PM⊥x轴，，

所以点P的坐标为，

点P在椭圆上，所以，

因此曲线C的方程是

(2)当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件，

所以设直线l的方程为，

直线l与椭圆交于，

N点所在直线方程为，

由      得  ，

由得，即或

因为，四边形OANB为平行四边形

又因OANB是矩形，则，

所以

设，由得

，

即N点在直线，四边形OANB为矩形，

直线l的方程为

解：（Ⅰ）由知AF2⊥F1F2∵椭圆离心率等于，

所以c=a，b2=a2，

故椭圆方程可以写成x2+2y2=a2，

设A（c，yA），代入方程得yA=a，

所以A（a，a），

故直线AB的斜率k=，

因此直线AB的方程为y=

（Ⅱ）连接AF1、BF1，由椭圆的对称性可知S△AEF1=S△AEF1=S△AF1F2，

所以

故椭圆方程为

（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2=4

假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8，

设点M到直线AB的距离为d，则应有，

所以d=4

设M所在直线方程为x﹣2y±4=0

与椭圆方程联立消去x得方程4y2±8y+32=0

即y2±2y+8=0，

∵△=（±2）2﹣4×8＜0

故在椭圆上不存在点M使得△MAB的面积等于8

解：（1）由题意：一条切线方程为：，

设另一条切线方程为：

则：，解得：，

此时切线方程为：

切线方程与圆方程联立得：，

则直线的方程为  

令，解得，

∴；

令，得，

∴

故所求椭圆方程为                                    

（2）设存在直线

满足题意，联立

整理得，，，

则∴，，，

即

由，得：

所以，不满足                 

因此不存在直线满足题意。

解:(I）设，直线，

由坐标原点到的距离为 则，

解得 .

又.

（II）由(I）知椭圆的方程为.

设、由题意知的斜率为一定不为0，

故不妨设 代入椭圆的方程中

整理得，

显然。

由韦达定理有：

①.假设存在点P，使成立，

则其充要条件为：点，点P在椭圆上，

即。

整理得。          

又在椭圆上，即.

故

②将及①代入②

解得

,=,

即.

当;

当.

解：（Ⅰ）设为椭圆上的任意一点，AB为椭圆的任意一条过中心的弦，且，则，

则：，，

两式作差得：；

，，

则，

则椭圆上的任意一点与任意过椭圆中心的弦的端点连线的斜率之积为定值。

（Ⅱ）椭圆的任意一条弦的中点与椭圆中心的连线的斜率（若斜率存在）与该弦的（若斜率存在）之积为定值。

证明：设AB为椭圆的任意一条不平行与坐标轴的弦，，AB中点，椭圆中心O，AB的方程为，

联立

并整理得：，

由韦达定理：，

则：，

，

。

解：（1）∵A（a，0），B（0，﹣b），

∴设直线AB：

∴，∴，

∴双曲线方程为：．

（2）∵双曲线方程为：，

∴，设P（x0，y0），

∴，，

∴==3．

B（0，﹣3）B1（0，3），

设M（x1，y1），N（x2，y2）

∴设直线l：y=kx﹣3，

∴，

∴3x2﹣（kx﹣3）2=9．（3﹣k2）x2+6kx﹣18=0，

∴

k2=5，即代入（1）有解，

∴．

解：设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x﹣1）+1，

代入椭圆方程，整理得（9k2+4）x2+18k（1﹣k）x+9（1﹣k）2﹣36=0

设A、B的横坐标分别为x1、x2，则

解之得

故AB方程为4x+9y﹣13=0．