热门试卷

解：（1）因为a>b>0，

所以

所以

由∠APB=90°及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，

所以

因为

所以

所以

故双曲线离心率e的取值范围为。

（2）因为

所以以点P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为

因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB，

所以联立方程组

消去x2，y2，即得直线AB的方程为x0x+y0y=b2。

（3）由（2）知，直线AB的方程为x0x+y0y=b2，

所以点O到直线AB的距离为

因为 

所以三角形OAB的面积

因为点P（x0，y0）在双曲线上，

所以，

即

设

所以

因为S'

所以当0＜t＜b时，S'>0，当t>b时，S'＜0

所以

在（0，b）上单调递增，在（b，+∞）上单调递减，

当，即时，

S最大值=

当，即时，

S最大值=

综上可知，当，S最大值=

当时，S最大值=。

解：（1）依题意可得A(-1，0)，B(1，0)

双曲线的焦距为，∴c=，

∴b2=c2-a2=5-1=4

∴双曲线C的方程为（2）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，i=1,2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1）

联立方程组 整理，得

解得x=-1或∴

同理方程组可得：

∴x1·x2=1为一定值

（3）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，i=1,2），

则，．

∵≤15，∴，即

∵点P在双曲线上，则，所以，即

又∵点P是双曲线在第一象限内的一点，所以

∵，

∴

由（2）知，，即，设，则，

∴，

∵在上单调递减，在上单调递增、

∴当t=4，即时，

当t=2，即时，

∴的取值范围为

解：(Ⅰ)依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），

将点（3，）代入上式，

得，解得a2=18（舍去）或a2=2，

故所求双曲线方程为。

(Ⅱ)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，

代入双曲线C的方程并整理，得(1-k2)x2-4kx-6=0，

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴，

∴k∈，

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得x1+x2=，

于是|EF|=

=，

而原点O到直线l的距离d=，

∴SΔOEF=，

若SΔOEF=2，即，

解得k=±，满足②，

故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=。

解：（1）∵|QF|=3=2+

∴p=2。

（2）抛物线方程为

A（），D（），B（），C（）

∵

∴

∴

∵

∴

所以直线AC和直线AB的倾斜角互补，

所以

所以的角平分线在直线AD上。

（3）设，则m=n=|AD|sinα

∴

∵

∴

∴

即

把与抛物线方程联立得

∴

∴

同理可得

∵

∴

∴

∴

∴

∴。

解：(Ⅰ)由题意，抛物线C2的方程为：y2=4x。

(Ⅱ)设直线AB的方程为：y=k（x-4）(k存在且k≠0)，

联立，消去x，得ky2-4y-16k=0，

显然△=16+64k2＞0，

设A（x1，y1），B(x2，y2)，则，  ①

y1·y2=-16，    ②

又，所以，，③

由①②③消去y1，y2，得k2=2，

故直线l的方程为y=x-4或y=-x+4。

(Ⅲ)设P(m，n)，则OP中点为，

因为O，P两点关于直线y=k(x-4)对称，

所以，，

即，解得：，

将其代入抛物线方程，得：，

所以，k2=1，

联立，消去y，得

(b2+a2k2)x2-8k2a2x+16a2k2-a2b2=0，

由△=(-8k2a2)2-4(b2+a2k2)(16a2k2-a2b2)≥0，

得16a2k4-(b2+a2k2)(16k2-b2)≥0，

即a2k2+b2≥16k2，

将k2=1，b2=a2-1代人上式并化简，得 2a2≥17，所以，

即2a≥，

因此，椭圆C1长轴长的最小值为。

解：（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边          

点到准线的距离         

圆的方程为；

（2）由对称性设，则      

点关于点对称得：    

得：，

直线   

  切点    

直线

坐标原点到距离的比值为。

解：（I）将（1，-2）代入y2=2px，得（-2）2=2p·1

所以p=2

故所求的抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1；

 （Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t

由得

因为直线l与抛物线C有公共点，所以△=4+8t≥0，解得t≥

另一方面，由直线OA与l的距离

可得

解得t=±1

因为

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0。

解：(1)由抛物线的定义知，动点P的轨迹是抛物线，且A是焦点，直线x=-2是准线．    

(2)由于点A(1，0)恰好在直线x=1上，所以动点P的轨迹是直线，此直线过点A且垂直于x=1，也就是x轴．

解；（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，

直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）

因为点A在抛物线上，

所以，即

此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上。

（2）当C2的焦点在AB时，由（1）知直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为

由消去y得 ①

设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1，x2是方程①的两根，x1+x2=

因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，

所以，且

从而

所以，即

解得，即

因为C2的焦点在直线上，

所以

即或

当时，直线AB的方程为

当时，直线AB的方程为。

解：（1）依题意，点N的坐标为，可设

直线AB的方程为，与联立得

，消去y得

由韦达定理得，

于是

∴当，。

（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为，

设AC的中点为，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H

则，点的坐标为

∵

∴

∴

令，得，此时为定值，故满足条件的直线l存在，

其方程为

即抛物线的通径所在的直线。

（1）解：由已知，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），x=4不合题意，

设直线l的方程为y=k（x﹣4）

∵F到直线l的距离为2，

∴，

∴k=±

∴直线l的方程为y=±（x﹣4）

（2）证明：设A，B的坐标A（x1，y1），B（x2，y2），

∵AB不与x轴垂直，

∴设直线AB的方程为y=kx+b代入抛物线方程，消元可得k2x2+（2bk﹣4）+b2=0

∴x1+x2=

∵线段AB中点的横坐标为2

∴=4

∴b=

∵线段AB中点的坐标为（2，2k+b）

∴AB的垂直平分线方程为：y﹣（2k+b）=﹣（x﹣2）

∵b=

∴方程可化为x+4y﹣4=0，显然过定点（4，0）

∴线段AB的垂直平分线恰过定点

解：(Ⅰ)设点A（xA，yA），B（xB，yB）(xA≠xB)，直线PA的斜率为k(k≠0)，则直线PB的斜率为-k，

∴PA的直线方程为y-2=k(x-2)，

由消y，得，

因为点P在曲线C上，所以，由韦达定理，得，，

∴，同理，

则。

(Ⅱ)设点M(x，y)，则由y=2x2，得y′=4x，

所以直线M的方程为：y-yA=4xA(x-xA)，①

同理直线MB的方程为：y-yB=4xB(x-xB)，②

由①②，得，③

把③代入①整理，得，

所以，动点M的轨迹方程为x=-1（y＜2）。

(Ⅲ)由已知，，

∴，

则直线A′B的方程为，

即，

令x=0，整理得，

即直线A′B与y轴交点P的纵坐标取值范围是（-∞，2）。

解：(1)设

由，得

∴过点的切线方程为：，

即                    

由已知：，

又，                          

，即点坐标为，                                     

∴直线的方程为：.                                  

（2）由已知，直线的斜率存在，

则设直线的方程为：，      

联立，得

＝         

故的取值范围是