热门试卷

解：（1）cosθ=，

∵P，Q不重合，

∴，

∵cosx＞0，，

因此f（x）=，

由函数的单调性，

得．

（2）S（x）==

=

∴S（x）=，，

当，S（x）取最大值，

=2=．

解：（I）∵双曲线的离心率为2，

∴a2=m，b2=12，c2=m+12，

，∴m=4，双曲线E的方程为，

当直线l与x轴垂直时，直线l与双曲线没有交点，

设直线l的方程为：y=kx﹣2，点M（x1，kx1﹣2），N（x2，kx2﹣2），

当时，x1=2x2，，

∴，①

y=kx﹣2代入，得：（3﹣k2）x2+4kx﹣16=0，

3﹣k2≠0，且△=16k2﹣4（3﹣k2）（﹣16）＞0，

即﹣2＜k＜2，且k，

∴，

代入①得9×=2（）2，解得k=，满足△＞0，

所以直线l的方程为．

（II）=

==（k2+1）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=

=12+，

∵0≤k2＜4，且k2≠3，

∴，或，

∴t＞52，或t≤﹣20

解：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：

又设，则其坐标满足

消去x得

由此得，

因此，即

故O必在圆H的圆周上

又由题意圆心H（）是AB的中点，故

由前已证，OH应是圆H的半径，且

从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小

此时，直线AB的方程为：x=2p。

解：（1）由，知AF2⊥F1F2，

因为椭圆的率心率等于

所以

可得

设椭圆方程为x2+2y2=a2设A（x0，y0），由，知x0=c，

∴A（c，y0），代入椭圆方程可得，

∴，故直线AO的斜率

直线AO的方程为。

（2）连接AF1，BF1，AF2，BF2，

由椭圆的对称性可知，

所以

又由，解得a2=16，b2=16-8=8

故椭圆方程为。

解：（1）∵椭圆的右焦点F（1，0），

∴=1，p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x，

其准线方程为x=﹣1．

（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为2x+b，

由，得y2﹣2y+2b=0，

∵直线l与抛物线有公共点，

∴△=4﹣8b≥0，即b≤，

∵直线OP与l的距离d=，

∴，即b=±1．

从而b=﹣1．

 ∴符合题意的直线l存在，其方程为y=2x﹣1．

解：（Ⅰ）∵抛物线y=2x2，即 ，

∴ ， ∴焦点为 

（1）直线l的斜率不存在时，显然有x1+x2=0

（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b 即直线l：y=kx+b

由已知得：   

即l的斜率存在时，不可能经过焦点

所以当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F

（Ⅱ）当x1=1，x2=﹣3时，直线l的斜率显然存在，设为l：y=kx+b

则由（Ⅰ）得：  

所以直线l的方程为 ，即x﹣4y+41=0

解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位，

（Ⅰ），

由，

所以，

即为⊙O1的直角坐标方程；

同理为⊙O2的直角坐标方程。

（Ⅱ）由，解得，

即⊙O1，⊙O2交于点（0，0）和（2，-2），

过交点的直线的直角坐标方程为y=-x。

解：①设点M（x，y），

由，得，，

由，得，

所以y2=4x．

又点Q在x轴的正半轴上，得x＞0．

所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．

②方法一：设直线l：y=k（x﹣2）+1，其中k≠0，

代入y2=4x，整理得k2x2﹣（4k2﹣2k+4）x+（2k﹣1）2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

由，解得：k=2．

所以，直线l的方程为y=2（x﹣2）+1，即：y=2x﹣3．

方法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，

两式相减 得：．

整理得：，

因为R（2，1）为弦AB的中点，

所以y1+y2=2，

代入上式得，即kAB=2．

所以，直线l的方程为y=2（x﹣2）+1，即：y=2x﹣3

解：(Ⅰ)∵直线PF1⊥直线PF2，

∴以O为圆心以c为半径的圆：x2+y2=c2与

椭圆：有交点，即有解，

又∵c2=a2-b2=m+1-1=m＞0，

∴，

∴。

(Ⅱ)设P(x0，y0)，Q(x1，y1)，

∵准线l的方程为：，

∴x1=，

∵，

∴，

∵， ①

将代入①，

化简得：，

由题设，

得：，无解；

将代入①，

化简得：，

由题设，

得：，解得m=2，

从而，

得到直线PF2的方程为：。

解：（Ⅰ）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），

由，解得，

所以，

当且仅当时，S取得最大值1。

（Ⅱ）由得，

， ①

 ，②

设O到AB的距离为d，则，

又因为，

所以，

代入②式并整理，得，解得，

代入①式检验，△＞0，

故直线AB的方程是

。

解：（Ⅰ）因为 =，所以a2=a1b2=．所以P2（ ，）．

所以过点P1，P2的直线l的方程为 2x+y=1．

（Ⅱ）∵已知点Pn（an，bn）（n∈N）在P1，P2两点确定的直线l上，

∴2an+bn=1．由an+1=anbn+1 可得 an+1=an（1﹣2an+1），

∴=，即﹣=2，

故{}是公差等于2的等差数列．所以=1+2（n﹣1）=2n﹣1，所以an=．

（Ⅲ）由上可得 bn=1﹣2an=．

依题意 k （1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an） 恒成立．

设F（n）=（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an），

所以只需求满足 kF（n）的F（n）的最小值．

∴==（1+a n+1）==＞1，

所以F（n）（x ∈N*）为增函数．

所以F（n）min=F（1）==．

所以 k．所以kmax=．

解：（Ⅰ）设点A的坐标为，点B的坐标为，

由，解得，

所以，

当且仅当时，S取到最大值1．

（Ⅱ）由得，

，

， ②

设O到AB的距离为d，则，

又因为，

所以，代入②式并整理，得，

解得，

代入①式检验，△＞0，

故直线AB的方程是或。

（1）设所求的直线方程为+=1（a＞0，b＞0），由已知+=1．

于是 •≤(

2

a

+

1

b

2

)2=，当且仅当==，即a=4，b=2时，取最大值，

即S△AOB=•ab取最小值4．

故所求的直线l的方程为+=1，即x+2y-4=0．

（2）设直线l：y-1=k（x-2），分别令y=0，x=0，得A(2-，0)，B(0，1-2k)．

则|PA|•|PB|==≥4，

当且仅当k2=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值，又∵k＜0，

∴k=-1，这时l的方程为x+y-3=0．