热门试卷

解：（Ⅰ）如图所示，设B（m，0），点A关于x轴的对称点为A′（1，-2），

点B关于直线的对称点为B′（-3，m+3），

根据光学性质，点C在直线A′B上，又在直线AB′上。

求得直线A′B的方程为，

由，解得：，

∴直线AB′的方程为，

由，解得：，

则，

化简，得，解得：或m=-3，

而当m=-3时，点B在直线上，不能构成三角形，故这样的三角形只有一个。

（Ⅱ）当时，，

∴线段BC的方程为。

解：（Ⅰ）设直线的斜率为k（k存在），则方程为y-0=k(x-2)，

又圆C的圆心为（3，-2），半径r=3，

由，解得，

所以直线方程为，即；

当的斜率不存在时，的方程为x=2，经验证x=2也满足条件。

（Ⅱ）由于，而弦心距，

所以，

所以P为MN的中点，

故以MN为直径的圆Q的方程为。

（Ⅲ）把直线即，

代入圆C的方程，

消去y，整理得，

由于直线交圆C于A，B两点，

故，即，解得，

 则实数的取值范围是，

设符合条件的实数存在，

由于垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在上，

所以的斜率，而，所以。

由于，

 故不存在实数，使得过点P（2，0）的直线垂直平分弦AB。

解：依题意得：Q(-1，0)，

直线l的斜率存在，设其斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+1)，

代入抛物线方程得：k2x2+(2k2-4)x+k2=0，

(1)若k≠0，令Δ=0得，k=±1，此时l的方程为y=x+1或y=-x-1；

若k=0，易知满足题意，故l的方程为y=0；

(2)显然k≠0，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则，x1x2=1，，

①；

②设点R的坐标为(x，y)，

，

∴，

∴，

∴，

由Δ＞0得，-1＜k＜1，

又k≠0，∴y∈(-2，0)∪(0，2)；

综上，点R的轨迹方程为x=1，y∈(-2，0)∪(0，2)。

解：由题设得A(-3，0)，B(3，0)，F(2，0)，

(Ⅰ)设点P(x，y)，则PF2=（x-2）2+y2，PB2= (x-3）2+y2，

由PF2-PB2=4，得（x-2）2+y2-（x-3）2-y2=4，化简得，

故所求点P的轨迹为直线。

(Ⅱ)由及y1＞0，得，

则点，从而直线AM的方程为；

由及y2＜0，得，

则点，从而直线BN的方程为；

由，解得，

所以点T的坐标为。

(Ⅲ)由题设知，直线AT的方程为，

直线BT的方程为，

点M(x1，y1)满足得，

因为x1≠-3，则，解得，

从而得；

点N(x2，y2)满足，解得；

若x1=x2，则由及m＞0，得，

此时直线MN的方程为x=1，过点D(1，0)；

若x1≠x2，则，

直线MD的斜率，

直线ND的斜率，

得kMD=kND，所以直线MN过D点；

因此，直线MN必过x轴上的点(1，0)。

解：（Ⅰ）因为，所以，

所以，

所以过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1。 

（Ⅱ）因为Pn（an，bn）在直线l上，所以，

所以，

由，

所以，

所以是公差为2的等差数列；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，

所以，所以，

所以，

依题意恒成立，

设，

所以只需求满足k ≤F（n）的F（n）的最小值，

因为

，

所以F（n）（x∈N*）为增函数，

所以，

所以，

所以。

解：（1）设点

由相减得

即

又

∴

∴直线l的方程为

即2x-y-4=0。

（2）设弦AB上任一点P0坐标为

则直线l1方程为

即

由

得

设

则

设直线l1上的三点C、P0、D在y轴上的射影分别为C'、P0'、D'，则

设直线l上的三点在y轴上的射影分别为A'，P'0，B'，

则由得

y1+y2=2 ， y1y2=-8

同理得

∴

设直线l的倾斜角为θ，则直线l1的倾斜角为π-θ，其中tanθ=2

则

由①知，|P0A|·|P0B|=|P0C|·|P0D|。

（3）直线l1方程为

由

得

设点

则

设直线l1上的三点A1、P0、B1在y轴上的射影分别为A'1、P'0、B'1，则

同理得

∴

设直线l1、l2的倾斜角分别为α、β，则

若|P0A1|·|P0B1|=|P0A2|·|P0B2|

则

又α，β=（0，π），

∴ sinα=sinβ

由α≠β得α与β互补，故k1+k2=0。

解：（1）解法一：由，消去y得。   

∵直线l与抛物线只有一个公共点   

∴解得m=-4

∴直线l的方程为y=2x-4

解法二：设直线l与抛物线的公共点坐标为

由得

∴直线的斜率

依题意得解得，

把代入抛物线的方程得

∵点在直线l上，

∴解得

∴直线l的方程为；

（2）解法一：抛物线的焦点为

依题意知椭圆的两个焦点坐标为，

设椭圆的方程为，

 由消去y，得  

由

得，解得，∴，   

∴当a=2时椭圆的长轴长取得最小值其值为4

此时椭圆的方程为，把a=2代入方程得，从而

∴点P的坐标为

解法二：∵抛物线的焦点为

 依题意知椭圆的两个焦点坐标为，    

设点关于直线l的对称点为，

则

 解得，

∴点

∴直线与直线的交点为

 由椭圆定义及平面几何知识得    椭圆的长轴长，

其中当点重合时，上面不等式取等号。 

∴当a=2时椭圆的长轴长取得最小值其值为4，

此时椭圆方程为，

点P的坐标为。

解：（1）设E（x，y），则P（x，2y），

而P点在圆上，

所以；

（2），

而，

故当时，△OAB面积的最大值为1，

此时，直线l的方程为：。

（3）假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，

，MN的中点，

于是，

，

，………………………………………①

而，

故，

，

而，

故，

可得：，…………………………………②

由①②得：，

故。

解：（Ⅰ）设N（x，y）为C上的点，则，

N到直线的距离为，

由题设得，

化简，得曲线C的方程为；

 （Ⅱ）设，直线l：y=kx+k，则B（x，kx+k），

从而，

在Rt△QMA中，因为，

所以，

，

，

当k=2时，，

从而所求直线l方程为2x-y+2=0。

解：(Ⅰ)因为直线l：，经过，

所以，得m2=2，

又因为m＞1，所以，

故直线l的方程为。

(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由，消去x得，

则由，知，

且有，

由于F1(-c，0），F2(c，0)，故O为F1F2的中点，

由，可知，

，

设M是CH的中点，则，

由题意可知，2|MO|＜|CH|，

即，

即，

而，

所以，即m2＜4，

又因为m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2；

所以m的取值范围是(1，2)．

解：（I）由题设得A（-3，0），B（3，0），F（2，0）

设点P（x，y）

则PF2=（x-2）2+y2，PB2=（x-3）2+y2由PF2-PB2=4，得（x-2）2+y2+（x-3）2-y2=4

得

故所求点P的轨迹为直线为；

（Ⅱ）由，及得

则点

从而直线AM的方程为

由及得

则点

从而直线BN的方程为

由

解得

所以点T的坐标为；

（Ⅲ）由题设知，直线AT的方程为

直线BT的方程为

点满足

得

因为

则

解得

从而得

点满足

解得

若，则由及

得

此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）；

若，则

直线MD的斜率

得kMD=kND所以直线MN过D点

因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。

解：(Ⅰ)由离心率e=，得，

即，①

又点B（-1，-3）在椭圆C：上，即，②

解①②得，

故所求椭圆方程为，

由A（2，0），B（-1，-3）得直线l的方程为y=x-2。

(Ⅱ)曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0，

即圆(x-m)2+(y+2)2=8，其圆心坐标为G（m，-2)，半径r=2，表示圆心在直线y=-2上，半径为2的动圆，

要求实数m的最小值，由下图可知，只须考虑m＜0的情形．

设圆G与直线l相切于点T，则由，得m=±4，

当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l′的方程为x+y+6=0，

解方程组，得T（-2，-4），

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，

所以切点TD，

由图可知当圆G过点B时，m取得最小值，

即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得mmin=--1。

设直线AB方程：2x-y+4=0，直线BC方程：x+y-7=0，直线CA方程：2x-7y-14=0，

由，解得x=1，y=6，所以B（1，6）

∵直线CA：2x-7y-14=0的斜率k=

∴CA边上的高的斜率k1=-=-

因此，CA边上的高所在直线方程为y-6=-（x-1），化简得7x+2y-19=0．