- 直线与方程
- 共7398题
抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的负半轴上，过点M（0，-2）作直线l与抛物线C交于A，B两点，且满足
（1）求直线l和抛物线C的方程；
（2）当抛物线C上一动点P从点A向点B运动时，求△ABP的面积的最大值；
（3）在抛物线C上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，请说明理由。
正确答案
解：（1）由题意可设所求直线l的方程为y=kx-2，所求抛物线的方程为
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则
∴
∵
∴
解得
故直线l的方程为y=2x-2，
抛物线的方程为x2=-2y；
（2）据题意，当抛物线过点P的切线m与直线l平行时，△ABP的面积最大，
此时切线m的方程为y=2x+b，由
∵
∴b=2，
m的方程为y=2x+2，即y=2x+2，
此时点P到直线l的距离为
由
故
所以△ABP的最大面积为=
（3）在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点，
假设在抛物线C存在相异两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线l对称，
则直线AB的方程为
由
于是可得AB的中点M的坐标为（
综上所述，在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点。
（选做题）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（
（1）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（2）判断直线l与圆C的位置关系
正确答案
解：（1）M，N的极坐标分别为（2，0），（
所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，
P为线段MN的中点（1，
直线OP的平面直角坐标方程y=
（2）圆C的参数方程
它的直角坐标方程为：（x-2）2+（y+
圆的圆心坐标为（2，-
圆心到直线的距离为：
所以，直线l与圆C相离。
已知AB和CD是曲线
|PD|，
（Ⅰ）将曲线
（Ⅱ）试求直线AB的方程。
正确答案
解：（Ⅰ）由y=4t得y2=16t2，而x=4t2，
∴y2=4x，它表示抛物线；
（Ⅱ）设直线AB和CD的倾斜角分别为α，β，
则直线AB和CD的参数方程分别为
把①代入y2=4x中，
得t2sin2α+（4sinα-4cosα）t-4=0，③
依题意知sinα≠0且方程③的判别式Δ=16（sinα-cosα）2+16sin2α＞0，
∴方程③有两个不相等的实数解t1，t2，
则
由t的几何意义知|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，
∴|PA|·|PB|=|t1t2|=
同理|PC|·|PD|=
由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|知
∵0≤α，β＜π，
∴α=π-β，
∵AB⊥CD，
∴β=α+90°或α=β+90°，
∴直线AB的倾斜角
∴kAB=1或kAB=-1，
故直线AB的方程为y=x或x+y-4=0。
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