直线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为M（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围为（）。

正确答案

﹣＜＜﹣

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题型：填空题

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填空题

如果三条直线mx+y+3=0，x-y-2=0，2x-y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m的值是______．

正确答案

①mx+y+3=0与x-y-2=0平行时，m=-1，此时满足题意，所以m=-1；

②mx+y+3=0与2x-y+2=0平行时，m=-2，此时满足题意，所以m=-2；

③联立x-y-2=0，2x-y+2=0得，解得：，

即x-y-2=0与2x-y+2=0的交点坐标为（-4，-6），

根据题意所求直线过（-4，-6），

代入得m=-，

综上m的值是-1或-2或-．

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题型：填空题

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填空题

直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内，则k的取值范围是 ______．

正确答案

联立两直线方程得，由②得y=③，把③代入①得：kx-=k-1，

当k+1≠0即k≠-1时，解得x=，把x=代入③得到y=，所以交点坐标为（，）

因为直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内，

得解得0＜k＜1，k＞1或k＜，所以不等式组的解集为0＜k＜

则k的取值范围是0＜k＜

故答案为：0＜k＜

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题型：简答题

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简答题

若三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，求k的值。

正确答案

解：其交点坐标为：，解得（-1，-2），

直线x+ky=0也经过交点，

所以有，-1-2k=0，即。

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题型：简答题

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简答题

已知直线l经过点A（2，4），且被平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上．求直线l的方程．

正确答案

∵点M在直线x+y-3=0上，

∴设点M坐标为（t，3-t），则点M到l1、l2的距离相等，即=，解得t=

∴M（，）

又l过点A（2，4），即5x-y-6=0，

故直线l的方程为5x-y-6=0．

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题型：简答题

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简答题

两条直线y=x+k和x+2y-4=0的交点在第一象限，求实数k的取值范围．

正确答案

解方程组⇒（3分）

点为P(，)

∵交点在第一象限，

∴（1分）⇒（2分）

∴-4＜k＜2（1分）

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题型：填空题

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填空题

已知点A（1，2），直线l1：（t为参数）与直线l2：2x-4y=5相交于点B，则A、B两点之间的距离|AB|=______．

正确答案

将x=1+3t，y=2-4t代入2x-4y=5，得t=，所以两直线的交点坐标为（，0）

所以|AB|==．

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

若直线kx-y-=0和直线2x+3y-6=0的交点在第一象限，则k的取值范围为______．

正确答案

由

得

又∵直线kx-y-=0和直线2x+3y-6=0的交点在第一象限

∴

解得：x＞

故答案为：(，+∞)

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题型：填空题

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填空题

若直线y=kx+3与直线y=x-5的交点在直线y=x上，则k=（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

点（-2，t）在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是（）

正确答案

t＞

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题型：填空题

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填空题

三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x﹣y=10相交于一点，则a的值是（）

正确答案

﹣1

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题型：简答题

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简答题

如图，A1，A为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点。

（1）写出椭圆的方程及准线方程；

（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线A1P与AP1交于点M，求证：点M在双曲线上。

正确答案

解：（1）由图可知，该椭圆的方程为，所以

该椭圆的方程为

准线方程为。

（2）设K点坐标，点P、P1的坐标分别记为，

其中，则……①

直线A1P，P1A的方程分别为：……②

……③

②式除以③式得

化简上式得，代入②式得

于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为

因为

所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线上。

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题型：简答题

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简答题

已知：△ABC中，顶点A（2，2），边AB上的中线CD所在直线的方程是x+y=0，边AC上的高BE所在直线的方程是x+3y+4=0。

（1）求点B、C的坐标；

（2）求△ABC的外接圆的方程。

正确答案

解：（1）由题意得，直线AC：y-2=3（x-2），

则联立，得C（1，-1），

设B（，b），代入BE：x+3y+4=0，

则AB的中点为，

代入直线x+y=0，得B（-4，0）。

（2）设圆的方程为，

将A，B，C三点代入，得，

所以，圆的方程为。

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题型：简答题

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简答题

已知直线：x=my+1过椭圆C：的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线交y轴于点M，且，当m变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；

（3）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由。

正确答案

解：（1）易知椭圆右焦点F（1，0），

∴c=1，

又抛物线的焦点坐标为，

∴b=，b2=3，

∴，

∴椭圆C的方程为。

（2）易知，且与y轴交于，

设直线与椭圆交于，

由，

∴，

又由，

∴，

∴，同理，

∴，

∵，

∴，

所以，当m变化时，的值为定值。

（3）先探索，当m=0时，直线轴，

则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交，FK的中点N，且，

猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点，

证明：由（2）知，，

∴，

当m变化时，首先证直线AE过定点，

∵：，

当时，

，

∴点在直线上，

同理可证也在直线上，

∴当m变化时，AE与BD相交于定点。

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题型：简答题

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简答题

如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2。点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点。

（I）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2。

（i）证明：；

（ii）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）因为椭圆过点，

所以

又a2=b2+c2所以

故所求椭圆方程为；

（Ⅱ）（i）由于F1（-1，0）、F2（1，0），PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上

所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0

又直线PF1，PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x-1）

联立方程得

所以

由于点P在直线x+y=2上

所以

因此2k1k2+3k1-k2=0

即

结论成立；

（ii）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）

联立直线PF1与椭圆的方程得

化简得（2k12+1）x2+4k21x+2k21-2=0

因此

由于OA，OB的斜率存在

所以xA≠0，xB≠0

因此k12≠0，1

因此

相似地可以得到

故

若kOA+kOB+kOC+kOD=0，须有k1+k2=0或k1k2=1

①当k1+k2=0时，结合（i）的结论，可得k2=-2，所以解得点P的坐标为（0，2）；

②当k1k2=1时，结合（i）的结论，解得k2=3或k2=-1（此时k1=-1，不满足k1≠k2，舍去），此时直线CD的方程为y=3（x-1），联立方程x+y=2得

因此

综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（0，2），。

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