直线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知以原点O为中心，F（，0）为右焦点的双曲线C的离心率，

(Ⅰ)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

(Ⅱ)如图，已知过点M(x1，y1)的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N(x2，y2)(其中x2≠x1)的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求的值。

正确答案

解：(Ⅰ)设C的标准方程为，

则由题意，

又，

因此，

C的标准方程为，

C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0。

(Ⅱ)如图，由题意点E(xE，yE)在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，

因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4，

故点M、N均在直线xEx+4yEy=4上，

因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4，

设G、H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组及，

解得，

故，

因为点E在双曲线上，

有，

所以。

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题型：简答题

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简答题

已知以原点D为中心，F（，0）为右焦点的双曲线C的离心率，。

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交于G、H两点，求△OGH的面积。

正确答案

解：（1）设C的标准方程为

则由题意

因此

C的标准方程为

C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0；

（2）如图，由题意点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4

故点M、N均在直线xEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4

设G、H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，由方程组

及解得：

设MN与x轴的交点为Q，则在直线xEx+4yEy=4中，令y=0 得

（易知xE≠0），注意到xE2-4yE2=4，得

。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆Γ的方程为（a>b>0），A（0，b），B（0，-b）和 Q（a，0）为Γ的三个顶点。

（1）若点M满足，求点M的坐标；

（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C，D两点，交直线l2：y=k2x于点E，若，证明：E为CD的中点；

（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1，P2满足？令a=10，b=5，点P的坐标是（-8，-1）。若椭圆Γ上的点P1，P2满足，求点P1，P2的坐标。

正确答案

解：（1）设点M的坐标为（x0，y0），由题意可知

∵

∴

∴点M的坐标为。

（2）由得

∴CD中点坐标为

∵

∴

由得l1与l2的交点E的坐标为

∴l1与l2的交点E为CD的中点。

（3）设OF的斜率为k1，过F作斜率为的直线交椭圆于P1，P2两点

由（2）可知，F是P1P2的中点，四边形PP1QP2是平行四边形，

所以，直线P1P2即为所求，

由a=10，b=5及点P（-8，-1），得PQ的中点为，OS的斜率

过点S且斜率的直线l的方程是

记l与Γ的交点为P1，P2，则

由解得P1（8，3），P2（-6，-4）。

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题型：简答题

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简答题

已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=（+）+2。

（1）求曲线C的方程；

（2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l，问：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值，若不存在，说明理由。

正确答案

解：（1）由 =（-2-x，1-y），=（2-x，1-y）

可得 +=（-2x，2-2y），

∴|+|=，

·（+）+2=（x，y）（0，2）+2=2y+2

由题意可得=2y+2，化简可得x2=4y.

（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，

则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=

∵-2＜x0＜2，

∴

①当-1＜t＜0时，，存在x0∈（-2，2），

使得

∴l∥PA，

∴当-1＜t＜0时，不符合题意；

②当t≤-1时，，，

∴l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组，，

解得D，E的横坐标分别是，

∴

∵|FP|=-

∴=

∴

∴=×

∵x0∈（-2，2），

△QAB与△PDE的面积之比是常数

∴，解得t=-1，

∴△QAB与△PDE的面积之比是2。

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题型：单选题

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单选题

直线l过点A（3，4）且与点B（-3，2）的距离最远，那么l的方程为（　　）

A3x-y-13=0

B3x-y+13=0

C3x+y-13=0

D3x+y+13=0

正确答案

C

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题型：单选题

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单选题

过点P(1，2)引一条直线，使它与点A(2，3)和点B(4，-5)的距离相等，那么这条直线的方程是

[ ]

A4x+y-6=0

B3x+2y-7=0或4x+y-6=0

Cx+4y-6=0

D2x+3y-7=0或x+4y-6=0

正确答案

B

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题型：单选题

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单选题

已知点A（0，2），B（2，0），若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为

[ ]

A4

B3

C2

D1

正确答案

A

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题型：单选题

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单选题

已知定直线l与平面α成60°，点P是平面α内的一个动点，且点P到直线l的距离为3，则动点P的轨迹是

[ ]

A圆

B椭圆的一部分

C抛物线的一部分

D椭圆

正确答案

D

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题型：单选题

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单选题

已知直线l:x+y-3=0及曲线C：（x-3）2+（y-2）2=2，则点M(2，1)

[

A在直线l上，但不在曲线C上

B在直线l上，也在曲线C上

C不在直线l上，也不在曲线C上

D不在直线l上，但在曲线C上

正确答案

B

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题型：单选题

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单选题

在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有

[ ]

A1条　　　　　　

B2条　　　　　　　

C3条　　　　　　

D4条

A

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正确答案

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