热门试卷

设点P（t，t2），点P到直线2x-y=4的距离为d，

则d===，

当t=1时，d取得最小值，

此时P（1，1）为所求的点．

（1）由f（x）=-x+lnx，得f′(x)=-1+，令f'（x）=1，得x=

∴所求距离的最小值即为P(，f())到直线x-y+3=0的距离

d==(4+ln2)

（2）假设存在正数a，令F（x）=f（x）-g（x）（x＞0），则F（x）max≤0

由F′(x)=a+-2a2x=0得x=∵x＞时，F′（x）＜0，

∴F（x）为减函数；

当0＜x＜时，F′（x）＞0，

∴F（x）为增函数

∴F(x)max=F()

∴ln≤0即a≥1

所以a的取值范围是[1，+∞）

解：（1）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）

由题意可得，kAP==，由导数的几何意义可得，kAP=2x1，

∴=2x1，整理可得，同理可得﹣1=0，

从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，

∴x=a±，k1=，k2=，

∴k1k2==﹣4，

即k1k2为定值﹣4．

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由于y'=2x，故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），

则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）

∴y1=2x1a+2，

同理y2=2x2a+2，

则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．

（3）即A（a，0）点到PQ的距离，

要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，

而A到直线PQ的距离d===≥，

当且仅当，即a2=时取等号，

∴最小值为．

解：（1）设，对求导得，故直线的斜率，

当时，不合题意，

所心

圆心为，的斜率

由知，即，

解得，故

所以。

（2）设为上一点，则在该点处的切线方程为

即若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，

即，化简可得

求解可得

抛物线在点处的切线分别为，

其方程分别为①

② 

 ③

②-③得，

将代入②得，

故所以到直线的距离为。

（1）设圆心P（x，y），∵圆P与直线y=-2相切，∴圆P的半径R=|y+2|．

又∵原P与定圆x2+（y-1）2=1内切，

∴|y+2|-1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，

∴点P到定直线y=-1与到定点F（0，1）的距离相等，

∴点P的轨迹是抛物线x2=4y．即曲线E的方程为x2=4y．

（2）设斜率为2的直线与曲线E相切于点M（x0，y0）．

由曲线E的方程为x2=4y，∴y′=，∴切线的斜率为，

∴=2，即x0=4，∴y0==8，

∴切点为(4，8)．

∴切线方程为y-8=2(x-4)，化为2x-y-8=0．

∴原点到此切线的距离d==．

解：（Ⅰ）∵（nx2）'=2nx

∴曲线Cn过点Pn（xn，yn）的切线ln的方程为y-nx2=2nxn（x-xn）

即2nxnx-y-nxn2=0

令x=0，得y=-nx2∴Qn的坐标为（0，-nx2）；

（Ⅱ）原点D（0，0）到ln的距离为

即时，取的最大值

故所求点Pn的坐标为；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，于是

现证明

故问题得证。

（1）根据题意，动点 P是以F(0，)为焦点以y=-为准线的抛物线，

所以p=1开口向上，

所以动点 P的轨迹C的方程为x2=2y

（2）以 M P为直径的圆的圆心（，），|MP|===

所以圆的半径r=，圆心到直线y=的距离d=|-|=|y0|，

故截得的弦长l=2=2

1

4

y02+

1

4

-

1

4

y02

 =1

（3）总有 P B平分∠A PF．

证明：因为y=

所以，y′=x，kl|x=x0=x0．

所以切线l的方程为y=x0x-，

令y=0得x=，

所以B（，0）

所以B到PA的距离为d1=|x0-|=

下面求直线PF的方程，

因为F(0，)

所以直线PF的方程为y-=(x-0)整理得(x02-1)x-2x0y+x0=0

所以点B到直线PF的距离d2===d1

所以 PB平分∠APF．