- 直线与方程
- 共7398题
(1)选修4-4:坐标系与参数方程
在曲线C1:(θ为参数)上求一点,使它到直线C2:
(t参数)
的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.
(2)选修4-5;不等式选讲
若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,求ab的最小值.
正确答案
(1)直线C2化成普通方程是x+y+2-1=0.
设所求的点为P(1+cosθ,sinθ),则P到直线C2的距离d==|sin(θ+
)+2|
当θ+=
+2kπ,k∈Z时,即θ=
+2kπ,k∈Z时,d取最小值1,
此时,点P的坐标是(1-,-
).
(2)根据题意,=
,即ab=-2(a+b),
∵ab>0,∴a<0,b<0,∴(-a)+(-b)≥2
∴ab≥4,∴
≥4或
≤0,∴ab≤16,当且仅当a=b-4时等号成立,∴(ab)min=16
已知=(1,0),
=(0,1),若向量
=(m,n)满足(
-
)•(
-
)=0,试求点(m,n)到直线x+y+1=0的距离的最小值.
正确答案
将=(m,n),代入(
-
)•(
-
)=0得
-m(1-m)-n(1-n)=0,
∴(m-)2+(n-
)2=
,
它表示以(,
)为圆心,
为半径的圆.
∵圆心(,
)到直线x+y+1=0的距离d=
=
,
∴点(m,n)到直线x+y+1=0的距离的最小值为
d-r=-
=
.
设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|
对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),
(1)若点C(x,y)是平面xOy上的点,试证明ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B);
(2)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足
①ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)②ρ(A,C)=ρ(C,B)若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明.
正确答案
(1)证明:由绝对值不等式知,
ρ(A,C)+ρ(C,B)=|x-x1|+|x2-x|+|y-y1|+|y2-y
≥|(x-x1)+(x2-x)|+|(y-y1)+(y2-y)|
=|x2-x1|+|y2-y1|
=ρ(A,B)
当且仅当(x-x1)•(x2-x)≥0,且(y-y1)•(y2-y)≥0时等号成立.
(2)由ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)得
(x-x1)•(x2-x)≥0且(y-y1)•(y2-y)≥0 (Ⅰ)
由ρ(A,C)=ρ(C,B)得|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|(Ⅱ)
因为A(x1,y1),B(x2,y2)是不同的两点,则:1°若x1=x2且y1≠y2,
不妨设y1<y2,由(Ⅰ)得x=x1=x2,且y1≤y≤y2,
由(Ⅱ)得y=,
此时,点C是线段AB的中点,即只有点C(,
)满足条件;
2°若x1≠x2且y1=y2,
同理可得:只有AB的中点C(,
)满足条件;
3°若x1≠x2且y1≠y2,不妨设x1<x2且y1<y2,
由(Ⅰ)得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2,
由(Ⅱ)得x+y=+
,
此时,所有符合条件的点C的轨迹是一条线段,即:过AB的中点(,
),
斜率为-1的直线x+y=+
夹在矩形AA1BB1之间的部分,
其中A(x1,y1),A1(x2,y1),B(x2,y2),B1(x1,y2).
已知点A(a,0)(a>4),点B(0,b)(b>4),直线AB与圆x2+y2-4x-4y+3=0相交于C、D两点,且|CD|=2.
(1)求(a-4)(b-4)的值;
(2)求线段AB的中点的轨迹方程;
(3)求△AOM的面积S的最小值.
正确答案
(1)直线AB的方程为+
=1,其与已知圆相交,且|CD|=2,得圆心到直线AB的距离d=2,即
=2.化简得ab+8-4a-4b=0,故(a-4)(b-4)=8.
(2)设M(x,y),则,由(1)得(2x-4)(2y-4)=8,(x-2)(y-2)=2(x>2,y>2)为所求轨迹方程.--(8分)(x,y范围只写一个也行没写扣1分)
(3)S△AOM=a•
=
(4a+4b-8)=a+b-2=(a-4)+(b-4)+6≥2
+6=4
+6.
当且仅当a=b=4+2时面积取最小值6+4
.
点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离等于4,且在不等式2x+y<4表示的平面区域内,则P点的坐标为______.
正确答案
因=4,∴a=7,a=-3.当a=7时,不满足2x+y<4(舍去),∴a=-3.
故答案为:(-3,3)
若圆C:(x-h)2+(y-1)2=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内,则h的最小值为______.
正确答案
由圆的方程(x-h)2+(y-1)2=1,得到圆心C的坐标为(h,1),半径r=1,
当直线x+y+1=0与圆C相切且圆在直线的上方时,圆心C到直线x+y+1=0的距离d==r=1,
解得:h=-2或h=-
-2(不合题意,舍去),
则h的最小值为:-2.
故答案为:-2
已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).
(Ⅰ)若点F到直线l的距离为,求直线l的斜率;
(Ⅱ)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴重合,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.
正确答案
(Ⅰ)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4),
由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0),…(1分)
因为点F到直线l的距离为,
所以=
,…(3分)
解得k=±,所以直线l的斜率为±
.…(5分)
(Ⅱ)设线段AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为AB不垂直于x轴,
则直线MN的斜率为,
直线AB的斜率为,…(7分)
直线AB的方程为y-y0=(x-x0),…(8分)
联立方程
消去x得(1-)y2-y0y+
+x0(x0-4)=0,…(10分)
所以y1+y2=,…(11分)
因为N为AB中点,
所以=y0,即
=y0,…(13分)
所以x0=2.即线段AB中点的横坐标为定值2.…(14分)
在△ABC中,点A(-1,2),B(5,5),C(6,-2)
求(1)△ABC的面积
(2)△ABC的外接圆的方程.
正确答案
(1)∵B(5,5),C(6,-2)
∴|BC|=
直线BC的方程为:=
,即7x+y-40=0,
∴A到直线lBC的距离d=,
∴S△ABC=d|BC|=
•
=
(2)设△ABC的外接圆的方程圆心I(a,b),外接圆半径为r,则⇒
⇒
⇒
△ABC的外接圆的方程(x-
19
6
)2+(y-
7
6
)2=
在空间直角坐标系中,解答下列各题:
(1)在x轴上求一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为;
(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最小.
正确答案
(1)设点P的坐标是(x,0,0),
由题意|P0P|=,
即=
,
∴(x-4)2=25.解得x=9或x=-1.
∴点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).先设点M(x,1-x,0),然后利用空间两点的距离公式表示出距离,最后根据二次函数研究最值即可.
(2)设点M(x,1-x,0)
则|MN|==
∴当x=1时,|MN|min=.
∴点M的坐标为(1,0,0)时到点N(6,5,1)的距离最小.
椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,
)、A、B在椭圆E上,且
+
=m
(m∈R);
(Ⅰ)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;
(Ⅱ)求证:当△PAB的面积取得最大值时,原点O是△PAB的重心.
正确答案
(Ⅰ)由e2=1-=
及
+
=1,
解得a2=4,b2=3,…(1分)
椭圆方程为+
=1; …(2分)
设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由+
=m
得
(x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,),
即…(3分)
又+
=1,
+
=1,
两式相减得kAB==-
×
=-
×
=-
;…(5分)
(Ⅱ)证明:设AB的方程为 y=-x+t,
代入椭圆方程得:x2-tx+t2-3=0,…(6分)
△=3(4-t2),|AB|=×
=
×
,
点P到直线AB的距离为d=,
S△PAB=|2-t|
=
(-2<t<2). …(8分)
令f(t)=3(2-t)3(2+t),
则f’(t)=-12(2-t)2(t+1),
由f’(t)=0得t=-1或2(舍),
当-2<t<-1时,f’(t)>0,
当-1<t<2时f’(t)<0,
所以当t=-1时,f(t)有最大值81,
即△PAB的面积的最大值是; …(10分)
根据韦达定理得 x1+x2=t=-1,
而x1+x2=2+m,所以2+m=-1,得m=-3,
于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3+
+
=0,
因此△PAB的重心坐标为(0,0). …(12分)
过点M(2,4)作两条互相垂直的直线,分别交x轴y轴的正半轴于A、B,若四边形OAMB的面积被直线AB平分,求直线AB的方程.
正确答案
由题意,设A(a,0)、B(0,b).则直线AB方程为+
=1(a>0,b>0)
∵MA⊥MB,∴×
=-1,化简得a=10-2b.
∵a>0,∴0<b<5.直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0
∴点M(2,4)到直线AB的距离为d1=.
又∵O点到直线AB的距离为d2=,∵四边形OAMB的面积被直线AB平分,
∴d1=d2,∴2b+4a-ab=±ab.
又∵a=10-2b.
解得或
,
∴所求直线为2x+y-4=0或x+2y-5=0.
已知两平行直线ℓ1:ax-by+4=0与ℓ2:(a-1)x+y-2=0.且坐标原点到这两条直线的距离相等.求a,b的值.
正确答案
坐标原点到这两条直线的距离相等且ℓ1∥ℓ2,
∴ℓ1,ℓ2在y轴上的截距互为相反数即 =-2,∴b=-2,
即有ℓ1:ax+2y+4=0与ℓ2:(a-1)x+y-2=0.
由ℓ1∥ℓ2,且ℓ1,ℓ2斜率存在.∴-=-(a-1),
解之得a=2综上:a=2,b=-2.
已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3),B(-1,-2),C(-3,4),求
(Ⅰ)BC边上的中线AD所在的直线方程;
(Ⅱ)△ABC的面积.
正确答案
(Ⅰ)由已知得BC中点D的坐标为D(-2,1),∴中线AD所在直线的方程是=
,
即 x-2y+4=0.
(Ⅱ)∵BC==2
,直线BC的方程是
=
,即 3x+y+5=0,
点A到直线BC的距离是 d==
,∴△ABC的面积是S=
BC•d=14.
已知直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.
(1)若l1和l2相交于点P(m,-1),求m、n的值;
(2)若l1∥l2,求m、n的值;
(3)若点Q(0,1)到直线l2的距离为1,求m的值.
正确答案
(1)由题意得解得
(4分)
(2)由得m=4,n≠-2或m=-4,n≠2(10分)
(3)由题意得=1,解得m=-
.(14分)
已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上相异两点,且满足x1+x2=2.
(Ⅰ)AB的中垂线经过点P(0,2),求直线A的方程;
(Ⅱ)AB的中垂线交x轴于点M,△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程.
正确答案
方法一:
(I)当AB垂直于x轴时,显然不符合题意,
所以设直线AB的方程为y=kx+b,代入方程y2=4x得:k2x2+(2kb-4)x+b2=0
∴x1+x2==2,…(2分)
得:b=-k,
∴直线AB的方程为y=k(x-1)+,
∵AB中点的横坐标为1,
∴AB中点的坐标为(1,) …(4分)
∴AB的中垂线方程为y=-(x-1)+
=-
x+
,
∵AB的中垂线经过点P(0,2),故=2,得k=
…(6分)
∴直线AB的方程为y=x-
,…(7分)
(Ⅱ)由(I)可知AB的中垂线方程为y=-x+
,
∴M点的坐标为(3,0)…(8分)
因为直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0,
∴M到直线AB的距离d==
…(10分)
由得
y2-ky+2-k2=0,
y1+y2=,y1y2=
,
|AB|=|y1-y2|=
…(12分)
∴S△AMB=4(1+)
,设
=t,则0<t<1,
S=4t(2-t2)=-4t3+8t,S′=-12t2+8,由S′=0,得t=,
即k=±时Smax=
,
此时直线AB的方程为3x±y-1=0.…(15分)
(本题若运用基本不等式解决,也同样给分)
法二:
(1)根据题意设AB的中点为Q(1,t),则kAB==
…(2分)
由P、Q两点得AB中垂线的斜率为k=t-2,…(4分)
由(t-2)•=-1,得t=
,…(6分)
∴直线AB的方程为y=x-
,…(7分)
(2)由(1)知直线AB的方程为y-t=(x-1),…(8分)
AB中垂线方程为y-t=-(x-1),中垂线交x轴于点M(3,0),
点M到直线AB的距离为d==
,…(10分)
由得:4x2-8x+(t2-2)2=0,
∴|AB|=|x1-x2|=
,x1+x2=2,x1x2=
∴S=|AB|•d=
=
≤
=
,
当t2=时,S有最大值
,此时直线AB方程为3x±
y-1=0…(15分)
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