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题型:简答题
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简答题

(1)选修4-4:坐标系与参数方程

在曲线C1:(θ为参数)上求一点,使它到直线C2:(t参数)

的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.

(2)选修4-5;不等式选讲

若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,求ab的最小值.

正确答案

(1)直线C2化成普通方程是x+y+2-1=0.

设所求的点为P(1+cosθ,sinθ),则P到直线C2的距离d==|sin(θ+)+2|

当θ+=+2kπ,k∈Z时,即θ=+2kπ,k∈Z时,d取最小值1,

此时,点P的坐标是(1-,-).

(2)根据题意,=,即ab=-2(a+b),

∵ab>0,∴a<0,b<0,∴(-a)+(-b)≥2

∴ab≥4,∴≥4或≤0,∴ab≤16,当且仅当a=b-4时等号成立,∴(ab)min=16

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题型:简答题
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简答题

已知=(1,0),=(0,1),若向量=(m,n)满足(-)•(-)=0,试求点(m,n)到直线x+y+1=0的距离的最小值.

正确答案

=(m,n),代入(-)•(-)=0得

-m(1-m)-n(1-n)=0,

∴(m-)2+(n-)2=

它表示以()为圆心,为半径的圆.

∵圆心()到直线x+y+1=0的距离d==

∴点(m,n)到直线x+y+1=0的距离的最小值为

d-r=-=

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题型:简答题
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简答题

设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|

对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),

(1)若点C(x,y)是平面xOy上的点,试证明ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B);

(2)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足

①ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)②ρ(A,C)=ρ(C,B)若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明.

正确答案

(1)证明:由绝对值不等式知,

ρ(A,C)+ρ(C,B)=|x-x1|+|x2-x|+|y-y1|+|y2-y

≥|(x-x1)+(x2-x)|+|(y-y1)+(y2-y)|

=|x2-x1|+|y2-y1|

=ρ(A,B)

当且仅当(x-x1)•(x2-x)≥0,且(y-y1)•(y2-y)≥0时等号成立.

(2)由ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)得

(x-x1)•(x2-x)≥0且(y-y1)•(y2-y)≥0  (Ⅰ)

由ρ(A,C)=ρ(C,B)得|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|(Ⅱ)

因为A(x1,y1),B(x2,y2)是不同的两点,则:1°若x1=x2且y1≠y2

不妨设y1<y2,由(Ⅰ)得x=x1=x2,且y1≤y≤y2

由(Ⅱ)得y=

此时,点C是线段AB的中点,即只有点C()满足条件;

2°若x1≠x2且y1=y2

同理可得:只有AB的中点C()满足条件;

3°若x1≠x2且y1≠y2,不妨设x1<x2且y1<y2

由(Ⅰ)得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2

由(Ⅱ)得x+y=+

此时,所有符合条件的点C的轨迹是一条线段,即:过AB的中点(),

斜率为-1的直线x+y=+夹在矩形AA1BB1之间的部分,

其中A(x1,y1),A1(x2,y1),B(x2,y2),B1(x1,y2).

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题型:简答题
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简答题

已知点A(a,0)(a>4),点B(0,b)(b>4),直线AB与圆x2+y2-4x-4y+3=0相交于C、D两点,且|CD|=2.

(1)求(a-4)(b-4)的值;

(2)求线段AB的中点的轨迹方程;

(3)求△AOM的面积S的最小值.

正确答案

(1)直线AB的方程为+=1,其与已知圆相交,且|CD|=2,得圆心到直线AB的距离d=2,即=2.化简得ab+8-4a-4b=0,故(a-4)(b-4)=8.

(2)设M(x,y),则,由(1)得(2x-4)(2y-4)=8,(x-2)(y-2)=2(x>2,y>2)为所求轨迹方程.--(8分)(x,y范围只写一个也行没写扣1分)

(3)S△AOM=a•=(4a+4b-8)=a+b-2=(a-4)+(b-4)+6≥2+6=4+6.

当且仅当a=b=4+2时面积取最小值6+4

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题型:填空题
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填空题

点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离等于4,且在不等式2x+y<4表示的平面区域内,则P点的坐标为______.

正确答案

=4,∴a=7,a=-3.当a=7时,不满足2x+y<4(舍去),∴a=-3.

故答案为:(-3,3)

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题型:填空题
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填空题

若圆C:(x-h)2+(y-1)2=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内,则h的最小值为______.

正确答案

由圆的方程(x-h)2+(y-1)2=1,得到圆心C的坐标为(h,1),半径r=1,

当直线x+y+1=0与圆C相切且圆在直线的上方时,圆心C到直线x+y+1=0的距离d==r=1,

解得:h=-2或h=--2(不合题意,舍去),

则h的最小值为:-2.

故答案为:-2

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题型:简答题
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简答题

已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).

(Ⅰ)若点F到直线l的距离为,求直线l的斜率;

(Ⅱ)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴重合,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.

正确答案

(Ⅰ)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4),

由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0),…(1分)

因为点F到直线l的距离为

所以=,…(3分)

解得k=±,所以直线l的斜率为±.…(5分)

(Ⅱ)设线段AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),

因为AB不垂直于x轴,

则直线MN的斜率为

直线AB的斜率为,…(7分)

直线AB的方程为y-y0=(x-x0),…(8分)

联立方程

消去x得(1-)y2-y0y++x0(x0-4)=0,…(10分)

所以y1+y2=,…(11分)

因为N为AB中点,

所以=y0,即=y0,…(13分)

所以x0=2.即线段AB中点的横坐标为定值2.…(14分)

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题型:简答题
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简答题

在△ABC中,点A(-1,2),B(5,5),C(6,-2)

求(1)△ABC的面积

(2)△ABC的外接圆的方程.

正确答案

(1)∵B(5,5),C(6,-2)

∴|BC|=

直线BC的方程为:=,即7x+y-40=0,

∴A到直线lBC的距离d=

∴S△ABC=d|BC|==

(2)设△ABC的外接圆的方程圆心I(a,b),外接圆半径为r,则

△ABC的外接圆的方程(x-

19

6

)2+(y-

7

6

)2=

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题型:简答题
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简答题

在空间直角坐标系中,解答下列各题:

(1)在x轴上求一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为

(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最小.

正确答案

(1)设点P的坐标是(x,0,0),

由题意|P0P|=

=

∴(x-4)2=25.解得x=9或x=-1.

∴点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).先设点M(x,1-x,0),然后利用空间两点的距离公式表示出距离,最后根据二次函数研究最值即可.

(2)设点M(x,1-x,0)

则|MN|==

∴当x=1时,|MN|min=

∴点M的坐标为(1,0,0)时到点N(6,5,1)的距离最小.

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题型:简答题
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简答题

椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,)、A、B在椭圆E上,且+=m(m∈R);

(Ⅰ)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;

(Ⅱ)求证:当△PAB的面积取得最大值时,原点O是△PAB的重心.

正确答案

(Ⅰ)由e2=1-=+=1,

解得a2=4,b2=3,…(1分)

椭圆方程为+=1; …(2分)

设A(x1,y1)、B(x2,y2),

+=m

(x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,),

…(3分)

+=1,+=1,

两式相减得kAB==-×=-×=-;…(5分)

(Ⅱ)证明:设AB的方程为 y=-x+t,

代入椭圆方程得:x2-tx+t2-3=0,…(6分)

△=3(4-t2),|AB|=×=×

点P到直线AB的距离为d=

S△PAB=|2-t|=(-2<t<2). …(8分)

令f(t)=3(2-t)3(2+t),

则f’(t)=-12(2-t)2(t+1),

由f’(t)=0得t=-1或2(舍),

当-2<t<-1时,f’(t)>0,

当-1<t<2时f’(t)<0,

所以当t=-1时,f(t)有最大值81,

即△PAB的面积的最大值是;                 …(10分)

根据韦达定理得 x1+x2=t=-1,

而x1+x2=2+m,所以2+m=-1,得m=-3,

于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3++=0,

因此△PAB的重心坐标为(0,0).        …(12分)

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题型:简答题
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简答题

过点M(2,4)作两条互相垂直的直线,分别交x轴y轴的正半轴于A、B,若四边形OAMB的面积被直线AB平分,求直线AB的方程.

正确答案

由题意,设A(a,0)、B(0,b).则直线AB方程为+=1(a>0,b>0)

∵MA⊥MB,∴×=-1,化简得a=10-2b.

∵a>0,∴0<b<5.直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0

∴点M(2,4)到直线AB的距离为d1=

又∵O点到直线AB的距离为d2=,∵四边形OAMB的面积被直线AB平分,

∴d1=d2,∴2b+4a-ab=±ab.

又∵a=10-2b.

解得

∴所求直线为2x+y-4=0或x+2y-5=0.

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题型:简答题
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简答题

已知两平行直线ℓ1:ax-by+4=0与ℓ2:(a-1)x+y-2=0.且坐标原点到这两条直线的距离相等.求a,b的值.

正确答案

坐标原点到这两条直线的距离相等且ℓ1∥ℓ2

∴ℓ1,ℓ2在y轴上的截距互为相反数即 =-2,∴b=-2,

即有ℓ1:ax+2y+4=0与ℓ2:(a-1)x+y-2=0.

由ℓ1∥ℓ2,且ℓ1,ℓ2斜率存在.∴-=-(a-1),

解之得a=2综上:a=2,b=-2.

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简答题

已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3),B(-1,-2),C(-3,4),求

(Ⅰ)BC边上的中线AD所在的直线方程;

(Ⅱ)△ABC的面积.

正确答案

(Ⅰ)由已知得BC中点D的坐标为D(-2,1),∴中线AD所在直线的方程是=

即  x-2y+4=0.

(Ⅱ)∵BC==2,直线BC的方程是   =,即 3x+y+5=0,

点A到直线BC的距离是 d==,∴△ABC的面积是S=BC•d=14.

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题型:简答题
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简答题

已知直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.

(1)若l1和l2相交于点P(m,-1),求m、n的值;

(2)若l1∥l2,求m、n的值;

(3)若点Q(0,1)到直线l2的距离为1,求m的值.

正确答案

(1)由题意得解得(4分)

(2)由得m=4,n≠-2或m=-4,n≠2(10分)

(3)由题意得=1,解得m=-.(14分)

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题型:简答题
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简答题

已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上相异两点,且满足x1+x2=2.

(Ⅰ)AB的中垂线经过点P(0,2),求直线A的方程;

(Ⅱ)AB的中垂线交x轴于点M,△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程.

正确答案

方法一:

(I)当AB垂直于x轴时,显然不符合题意,

所以设直线AB的方程为y=kx+b,代入方程y2=4x得:k2x2+(2kb-4)x+b2=0

∴x1+x2==2,…(2分)

得:b=-k,

∴直线AB的方程为y=k(x-1)+

∵AB中点的横坐标为1,

∴AB中点的坐标为(1,)    …(4分)

∴AB的中垂线方程为y=-(x-1)+=-x+

∵AB的中垂线经过点P(0,2),故=2,得k=      …(6分)

∴直线AB的方程为y=x-,…(7分)

(Ⅱ)由(I)可知AB的中垂线方程为y=-x+

∴M点的坐标为(3,0)…(8分)

因为直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0,

∴M到直线AB的距离d==      …(10分)

y2-ky+2-k2=0,

y1+y2=,y1y2=

|AB|=|y1-y2|=            …(12分)

∴S△AMB=4(1+,设=t,则0<t<1,

S=4t(2-t2)=-4t3+8t,S′=-12t2+8,由S′=0,得t=

即k=±时Smax=

此时直线AB的方程为3x±y-1=0.…(15分)

(本题若运用基本不等式解决,也同样给分)

法二:

(1)根据题意设AB的中点为Q(1,t),则kAB==      …(2分)

由P、Q两点得AB中垂线的斜率为k=t-2,…(4分)

由(t-2)•=-1,得t=,…(6分)

∴直线AB的方程为y=x-,…(7分)

(2)由(1)知直线AB的方程为y-t=(x-1),…(8分)

AB中垂线方程为y-t=-(x-1),中垂线交x轴于点M(3,0),

点M到直线AB的距离为d==,…(10分)

得:4x2-8x+(t2-2)2=0,

∴|AB|=|x1-x2|=,x1+x2=2,x1x2=

∴S=|AB|•d===

当t2=时,S有最大值,此时直线AB方程为3x±y-1=0…(15分)

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