- 直线与方程
- 共7398题
已知,
,若直线
与圆
相切,则
的取值范围是________.
正确答案
试题分析:因为,
,直线
与圆
相切,,所以圆心
到直线的距离为半径1.
所以,即
两边平方并整理得,,由基本不等式得
解得,故答案为
.
在平面直角坐标系中,圆
的方程为
,若直线
上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆
有公共点,则
的最大值是 .
正确答案
试题分析:将圆的方程化简为标准方程,即为由于圆C的方程为(x-4)2+y2=1,由题意可知,直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆
有公共点,只需(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可.
∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得:(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,
∴只需圆C′:(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可.设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的
距离为d,则d=≤2,即3k2≤4k,∴0≤k≤
∴k的最大值是
点评:解决该试题的关键是将条件转化为“(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点”。同时能利用点到直线的距离公式得到。
设直线与圆
相交于
、
两点,且弦
的长为
,则
__________.
正确答案
、0
解:因为直线与圆
相交于
、
两点,且弦
的长为
,圆心坐标为(1,2)半径为2,圆心到直线的距离为
由直线上的一点向圆
引切线,则切线长的最小值为___
正确答案
略
(本小题满分10分)经过点,倾斜角为
的直线
,与曲线
:
(
为参数)相交于
两点.
(1)写出直线的参数方程,并求当
时弦
的长;[
(2)当恰为
的中点时,求直线
的方程;
(3)当时,求直线
的方程;
(4)当变化时,求弦
的中点的轨迹方程.
正确答案
,
弦的中点的轨迹方程为
;
(1)的参数方程
(
为参数). …………1分
曲线化为:
,将直线参数方程的
代入,得
∵恒成立, ………………3分
∴方程必有相异两实根,且
,
.
∴
∴当时,
. ………………5分
(2)由为
中点,可知
,
∴,
故直线的方程为
. ………………7分
(3)∵,得
∴,
∴或
故直线的方程为
或
………………9分
(4)∵中点对应参数
∴(参数
),消去
,得
弦的中点的轨迹方程为
;
轨迹是以为圆心,
为半径的圆. ………………10分
过直线l:y=2x上一点P作圆C:(x-8)2+(y-1)2=2的切线l1,l2,若l1,l2关于直线l对称,则点P到圆心C的距离为________.
正确答案
3
根据平面几何知识可知,因为直线l1,l2关于直线l对称,所以直线l1,l2关于直线PC对称并且直线PC垂直于直线l,于是点P到点C的距离即为圆心C到直线l的距离,d==3
一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:的最短路程是_________.
正确答案
4
试题分析:先作出圆C关于x轴的对称的圆C′,问题转化为求点A到圆C′上的点的最短路径,方法是连接AC′与圆交于B点,则AB为最短的路线,利用两点间的距离公式求出AC′,然后减去半径即可求出.
解:先作出已知圆C关于x轴对称的圆C′,则圆C′的方程为:(x-2)2+(y+3)2=1,所以圆C′的圆心坐标为(2,-3),半径为1,则最短距离d=|AC′|-r==5-1=4.故填写4.
点评:本题考查学生会利用对称的方法求最短距离,灵活运用两点间的距离公式化简求值,掌握数形结合的数学思想解决实际问题.是一道综合题
圆关于直线
对称的圆的方程是
,则实数
的值是
正确答案
2
圆
的方程为:
其圆心
的坐标为为:
又由其关于直线
对称的圆
的方程为:
故圆
的圆心
的坐标为:
关于直线
对称,
垂直于该直线,又该直线的斜率为:1,
的斜率为:
解得:
(本题8分)
已知直线(
为参数),圆
(
为参数).
(Ⅰ)当时,试判断直线
与圆
的位置关系;
(Ⅱ)若直线与圆
截得的弦长为1,求直线
的普通方程.
正确答案
解:(Ⅰ)当时,直线
的普通方程为
,圆
的普通方程为
,
圆心(0,0)到直线的距离
. 所以直线
与圆
相切.
(Ⅱ)若直线与圆
截得的弦长为1,则圆心(0,0)到直线
的距离
,
直线
的普通方程为
,
,
.
所以,直线的普通方程为
.
略
(本小题满分10分)已知圆方程为:
.
(1)直线过点
,且与圆
交于
、
两点,若
,求直线
的方程;
(2)过圆上一动点
作平行于
轴的直线
,设
与
轴的交点为
,若向量
,求动点
的轨迹方程。
正确答案
(1),所求直线为或
(2)点的轨迹方程是
,
(本小题10分)解:(1)①当直线垂直于
轴时,则此时直线方程为
,
与圆的两个交点坐标为
和
,其距离为
满足题意 ………1分
②若直线不垂直于
轴,设其方程为
,即
设圆心到此直线的距离为,则
,得
…………3分
∴,
,
故所求直线方程为 ……………………4分
综上所述,所求直线为或
………5分
(2)设点的坐标为
(
),
点坐标为
则点坐标是
………………6分
∵,∴
即
,
……7分
又∵,∴
………………8分
∴点的轨迹方程是
, ………… 10分
若圆x2+y2+mx-=0与直线y=-1相切,且其圆心在y轴的左侧,则m的值为__________.
正确答案
本题考查直线与圆的位置关系和圆的一般方程的应用.
由已知有(x+)2+y2=
,则有-
<0,即m>0.
又圆与y=-1相切,则半径r=1,所以=1
m=±
.
又m>0,则m=.
若过点(1,2)总可作两条直线和圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,则实数k的取值范围是__________.
正确答案
2<k<或-
<k<-3
利用数形结合,点在圆外就可作两条切线.
利用点与圆的位置关系可知①点在圆内不能作圆的切线,②点在圆上能作圆的一条切线,③点在圆外能作两条切线.故圆
(x+)2+(y+1)2=-
k2+16.
∴
2<k<
或-
<k<-3.
圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的共有______个.
正确答案
由圆的方程x2+y2+2x+4y-3=0化为标准方程得:(x+1)2+(y+2)2=8,
所以圆心坐标为(-1,-2),圆的半径r=2,
又圆心到直线x+y+1=0的距离d==
∴圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的共有3个
故答案为:3
如果直线将圆
平分,且不经过第四象限,则
的斜率的取值范围是__________
正确答案
[0,2]
略
已知点A(-2,0),B(0,2),若点C是圆x2-2x+y2=0上的动点,则△ABC面积的最小值是______.
正确答案
将圆的方程整理为标准方程得:(x-1)2+y2=1,
∴圆心坐标为(1,0),半径r=1,
∵A(-2,0),B(0,2),
∴直线AB解析式为y=x+2,
∵圆心到直线AB的距离d==
,
∴△ABC中AB边上高的最小值为d-r=-1,
又OA=OB=2,∴根据勾股定理得AB=2,
则△ABC面积的最小值为×AB×(d-r)=3-
.
故答案为:3-
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