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题型:填空题
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填空题

已知,,若直线与圆相切,则的取值范围是________.

正确答案

试题分析:因为,,直线与圆相切,,所以圆心到直线的距离为半径1.

所以,即

两边平方并整理得,,由基本不等式得

解得,故答案为.

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题型:填空题
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填空题

在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是    

正确答案

试题分析:将圆的方程化简为标准方程,即为由于圆C的方程为(x-4)2+y2=1,由题意可知,直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,只需(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可.

∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得:(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,

∴只需圆C:(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可.设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的

距离为d,则d=≤2,即3k2≤4k,∴0≤k≤∴k的最大值是

点评:解决该试题的关键是将条件转化为“(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点”。同时能利用点到直线的距离公式得到。

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题型:填空题
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填空题

设直线与圆相交于两点,且弦的长为,则__________

正确答案

、0

解:因为直线与圆相交于两点,且弦的长为,圆心坐标为(1,2)半径为2,圆心到直线的距离为

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题型:填空题
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填空题

由直线上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为___

正确答案

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分10分)经过点,倾斜角为的直线,与曲线为参数)相交于两点.

(1)写出直线的参数方程,并求当时弦的长;[

(2)当恰为的中点时,求直线的方程;

(3)当时,求直线的方程;

(4)当变化时,求弦的中点的轨迹方程.

正确答案

的中点的轨迹方程为

(1)的参数方程为参数).       …………1分

曲线化为:,将直线参数方程的代入,得          

 

恒成立,               ………………3分

∴方程必有相异两实根,且

∴当时,.                 ………………5分

(2)由中点,可知

故直线的方程为.                ………………7分

(3)∵,得

,

故直线的方程为          ………………9分

(4)∵中点对应参数

(参数 ),消去,得

的中点的轨迹方程为

轨迹是以为圆心,为半径的圆.            ………………10分

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题型:填空题
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填空题

过直线ly=2x上一点P作圆C:(x-8)2+(y-1)2=2的切线l1l2,若l1l2关于直线l对称,则点P到圆心C的距离为________.

正确答案

3

根据平面几何知识可知,因为直线l1l2关于直线l对称,所以直线l1l2关于直线PC对称并且直线PC垂直于直线l,于是点P到点C的距离即为圆心C到直线l的距离,d=3

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题型:填空题
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填空题

一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:的最短路程是_________.

正确答案

4

试题分析:先作出圆C关于x轴的对称的圆C′,问题转化为求点A到圆C′上的点的最短路径,方法是连接AC′与圆交于B点,则AB为最短的路线,利用两点间的距离公式求出AC′,然后减去半径即可求出.

解:先作出已知圆C关于x轴对称的圆C′,则圆C′的方程为:(x-2)2+(y+3)2=1,所以圆C′的圆心坐标为(2,-3),半径为1,则最短距离d=|AC′|-r==5-1=4.故填写4.

点评:本题考查学生会利用对称的方法求最短距离,灵活运用两点间的距离公式化简求值,掌握数形结合的数学思想解决实际问题.是一道综合题

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题型:填空题
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填空题

关于直线对称的圆的方程是,则实数的值是          

正确答案

2

的方程为: 其圆心的坐标为为:又由其关于直线对称的圆的方程为:故圆的圆心的坐标为:关于直线对称,垂直于该直线,又该直线的斜率为:1,的斜率为:解得:

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题型:简答题
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简答题

(本题8分)

已知直线(为参数),圆(为参数).

(Ⅰ)当时,试判断直线与圆的位置关系;

(Ⅱ)若直线与圆截得的弦长为1,求直线的普通方程.

正确答案

解:(Ⅰ)当时,直线的普通方程为,圆的普通方程为

圆心(0,0)到直线的距离. 所以直线与圆相切.

(Ⅱ)若直线与圆截得的弦长为1,则圆心(0,0)到直线的距离

直线的普通方程为

所以,直线的普通方程为

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分10分)已知圆方程为:.

(1)直线过点,且与圆交于两点,若,求直线的方程;

(2)过圆上一动点作平行于轴的直线,设轴的交点为,若向量,求动点的轨迹方程。

正确答案

(1),所求直线为                

(2)点的轨迹方程是,      

(本小题10分)解:(1)①当直线垂直于轴时,则此时直线方程为与圆的两个交点坐标为,其距离为  满足题意   ………1分

②若直线不垂直于轴,设其方程为,即     

设圆心到此直线的距离为,则,得  …………3分       

                                    

故所求直线方程为    ……………………4分                           

综上所述,所求直线为  ………5分                  

(2)设点的坐标为),点坐标为

点坐标是                    ………………6分

,∴ 即   ……7分

又∵,∴       ………………8分

点的轨迹方程是,              …………   10分

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题型:填空题
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填空题

若圆x2+y2+mx=0与直线y=-1相切,且其圆心在y轴的左侧,则m的值为__________.

正确答案

本题考查直线与圆的位置关系和圆的一般方程的应用.

由已知有(x+)2+y2=,则有-<0,即m>0.

又圆与y=-1相切,则半径r=1,所以=1m.

m>0,则m=.

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题型:填空题
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填空题

若过点(1,2)总可作两条直线和圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,则实数k的取值范围是__________.

正确答案

2<k<或-<k<-3

利用数形结合,点在圆外就可作两条切线.

利用点与圆的位置关系可知①点在圆内不能作圆的切线,②点在圆上能作圆的一条切线,③点在圆外能作两条切线.故圆

(x+)2+(y+1)2=-k2+16.

2<k<或-<k<-3.

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题型:填空题
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填空题

圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的共有______个.

正确答案

由圆的方程x2+y2+2x+4y-3=0化为标准方程得:(x+1)2+(y+2)2=8,

所以圆心坐标为(-1,-2),圆的半径r=2

又圆心到直线x+y+1=0的距离d==

∴圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的共有3个

故答案为:3

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题型:填空题
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填空题

如果直线将圆平分,且不经过第四象限,则的斜率的取值范围是__________

正确答案

[0,2]

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题型:填空题
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填空题

已知点A(-2,0),B(0,2),若点C是圆x2-2x+y2=0上的动点,则△ABC面积的最小值是______.

正确答案

将圆的方程整理为标准方程得:(x-1)2+y2=1,

∴圆心坐标为(1,0),半径r=1,

∵A(-2,0),B(0,2),

∴直线AB解析式为y=x+2,

∵圆心到直线AB的距离d==

∴△ABC中AB边上高的最小值为d-r=-1,

又OA=OB=2,∴根据勾股定理得AB=2

则△ABC面积的最小值为×AB×(d-r)=3-

故答案为:3-

下一知识点 : 圆与方程
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