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解：（1）由题意可得，当x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b，f′（﹣1）=﹣3﹣2+b=b﹣5．

由（ b﹣5 ）（ ）=﹣1，可得b=0，

故 f（x）=﹣x3+x2+c．把点（﹣1，2）代入求得 c=0．

综上可得b=0，c=0．

（2）由以上可得  ，当﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣x（3x﹣2）．

 解f′（x）＞0得0＜x＜ ．解f′（x）＜0得1≥x＞ 或x＜0．

∴f（x）在（﹣1，0）和（ ，1）上单调递减，在（0， ）上单调递增，

从而f（x）在x= 处取得极大值为f（ ）= ．

又∵f（﹣1）=2，f（1）=0，

∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值为2．

当1≤x≤e时，f（x）=alnx，

当a≤0时，f（x）≤0．

当a＞0时，f（x）在[1，e]单调递增；

∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．

∴a≥2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为a；

当a＜2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为2．

（3）设点P的横坐标为m（不妨设m＞0），

则由题意可得点Q的横坐标为﹣m，且﹣m＜0．

当0＜m＜1时，点P（m，﹣m3+m2），点 Q（﹣m，m3+m2），

由K0P·KOQ=﹣1，可得（﹣m2+m）（﹣m2﹣m）=﹣1，m无解．

当m≥1时，点P（m，alnm），点 Q（﹣m，m3+m2），

由K0P·KOQ=﹣1，可得  ·（﹣m2﹣m）=﹣1，即 alnm= ．

由于a为正实数，故存在大于1的实数m，满足方程 alnm= ．

故曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，

且此三角形斜边中点在y轴上．

解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），

∴，b=1，

∴a=

∴椭圆的方程为

∵直线l过椭圆左顶点A（﹣，0），

设直线l的方程为y=k（x+）

∵直线x=a，即为，

∴点P（），

由，消元可得（1+2k2）+4k2x+4k2﹣2=0

可知为此方程的一个根，设B（，）

∴，

∴

∴B

∴·=+=2；

（2）|AB|===，

∴8k4﹣k2﹣7=0

∴k2=1

∴k=±1

∴直线l的倾斜角为或．

解：（1）所求渐近线方程为；

（2）设P的坐标为，则Q的坐标为，

，

，

∴λ的取值范围是(-∞，-1]。

（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，则直线l的斜率，

由计算可得，当；

当；

∴s表示为直线l的斜率k的函数是。

解：（1）由题可得F1（0，），F2（0，），

设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），

则，

∴，

在曲线上，

则，

∴，

得，

则点P的坐标为（1，）。

 （2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，

设PB的斜率为k（k＞0），

则BP的直线方程为：y-=k（x-1），

由，

设，

则，

同理可得，

则，

∴AB的斜率为定值。

（3）设AB的直线方程：，

，

由，

P到AB的距离为，

，

则

，

当且仅当m=±2∈（-2，2）取等号。

∴三角形PAB面积的最大值为。

解：（1）易知，

所以，

设，则

，

故。

（2）显然直线x=0不满足题设条件，

可设直线：，

联立，

消去y，整理得，

∴，

由，解得：或，     ①

又0°<∠MON<90°cos∠MON>0，

∴，

又，

∵，即，

∴，                       ②

故由①、②得或。

（3）根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为

，

，

又，

所以，四边形AEBF的面积为

，

当即时，等号成立，所以S的最大值为。

解：（1）；

（2）设直线l的方程：，

联立，

同法消去x得：，

∴。

解：（1）设

直线l：与联立得

则

由得

所以点P在C上。

（2）

同理

所以互补

因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

解：（1）过C：上一点An（xn，yn）作斜率为kn的直线交C于另一点An+1，

则，

于是有：xnxn+1=xn+2

即：．

（2）记，

则，

因为，

因此数列{}是等比数列．

（3）由（2）知：，．

①当n为偶数时有：（﹣1）n﹣1 xn﹣1+（﹣1）nxn=，

于是在n为偶数时有：．

②在n为奇数时，前n﹣1项为偶数项，

于是有：（﹣1）+（﹣1）2x2++（﹣1）n﹣1xn﹣1+（﹣1）nxn．

综合①②可知原不等式得证．

解：（Ⅰ）因为是边长为的正三角形，

所以圆M的半径，M到y轴的距离为，

即椭圆的半焦距，

此时点的坐标为，

因为点在椭圆：上，

所以，

又，

解得：，

所求椭圆D的方程为。

（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，

设直线斜率为k，直线l的方程为，

则有，

设，由于P、Q、F三点共线，且，

根据题意得，

解得，

又P在椭圆D上，

故，解，

综上，直线l的斜率为。

（Ⅲ）由（Ⅰ）得：椭圆N的方程为…①，

由于，

设直线GK的方程为…②，

则直线RS的方程为…③

设，

联立①②消元得：，

所以，

所以， 

设，

联立①③消元得：，

所以，，，

，

由，化简得：，

显然无解，

所以满足的直线GK不存在。

解：（1）设M（y，y0），直线ME的斜率为k(k＞0)，

则直线MF的斜率为-k，

∴直线ME的方程为，

∴由，消x得，

解得，

∴（定值），

所以直线EF的斜率为定值；

（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，

∴直线ME的方程为，

有，

同理可得，

设重心G（x， y），

则有，

消去参数y0得。

解：（1）直线l的方程可化为，

于是直线l的斜率，

因为，

所以，，当且仅当|m|=1时等号成立。

所以，直线l的斜率k的取值范围是。

（2）不能，

由（1）知直线l的方程为：y=k（x-4），其中，

圆C的方程可化为，

所以，圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2，

于是圆心C到直线l的距离，

由，得，即，

所以，若直线l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，

故直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧。

解：（1）设直线l的方程为，

与抛物线方程联立可得：，

再设点，，

则，

所以，

故。

（2）因为，所以抛物线的方程为：，

记线段中点即圆心为，

则圆的半径，

假设存在这样的直线，记作l′：x=t，

若要满足题意，只需为常数即可，

故，

所以，时，能保证为常数，

故存在这样的直线l′：x=3满足题意。