直线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

过双曲线2x2-y2=1上一点A（1，1）作两条动弦AB，AC，且直线AB，AC的斜率的乘积为3．

（1）问直线BC是否可与坐标轴垂直？若可与坐标轴垂直，求直线BC的方程，若不与坐标轴垂直，试说明理由．

（2）证明直线BC过定点．

正确答案

（1）令B（x1，y1），C（x2，y2）．

当BC与x轴垂直时，有x1=x2，y1=-y2，

故：3=•===

∴x1=，与|x1|≥矛盾，因此BC不与x轴垂直..（3分）

当BC与y轴垂直时，有x1=-x2，y1=y2，

故：3=•===

∴y1=-，因此BC可与y轴垂直，此时BC的方程为y=-．（5分）

（2）证明：当BC不与坐标轴垂直时，kAB•kAC=•=3，

故3（x1-1）（x2-1）=（y1-1）（y2-1）．…①…（6分）

令BC：y=kx+b，代入双曲线方程有：2x2-（kx+b）2=1⇔（2-k2）x2-2kbx-b2-1=0．…②

x1，x2是方程②的两个实根．令f（x）=（2-k2）x2-2kbx-b2-1，

则（x1-1）（x2-1）==．③…..（8分）

直线方程又可写成：x=，代入2x2-y2=1，有：2（y-b）2-k2y2=k2，整理得：（2-k2）y2-4by+2b2-k2=0．…④

y1，y2是方程④的两个实根．

令g（y）=（2-k2）y2-4by+2b2-k2．

（y1-1）（y2-1）==．…⑤…（10分）

③，⑤两式代入①式，有：=，

故3[1-（k+b）2]=2[（b-1）2-k2]，

从而：3（1-k-b）（1+k+b）=2（b-1-k）（b-1+k）．…⑥

因为点A（1，1）不在直线y=kx+b上，故k+b≠1．

利用⑥，可知：3 （1+k+b）+2（b-1-k）=0，

即k+5b+1=0，所以-=k•+b．

因此直线BC过定点M(，-)，直线y=-也过定点M．

综上所述，直线BC恒过定点M(，-)．…（14分）

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线F：y2=4x

（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为kAB，kBC，kCA，若A的坐标在原点，求kAB-kBC+kCA的值；

（2）请你给出一个以P（2，1）为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由．

正确答案

（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），

∵x12=4y1，x22=4y2，

∴kAB-kBC+kCA=-+=x1-(x1+x2)+x2=0；

（2）①研究△PBC，

kPB-kBC+kCP=-+=-+==1；

②研究四边形PBCD，

kPB-kBC+kCD-kDP=-+-=0；

③研究五边形PBCDE，

kPB-kBC+kCD-kDE+kEP=-+-+==1；

④研究n=2k边形P1P2…P2k（k∈N，k≥2），其中P1=P，

有kP1P2-kP2P3+kP3P4-…+(-1)2k-1kP2kP1=0，

证明：左边=(xP1+xP2)-(xP2+xP3)+…+(-1)2k-1(xP2k +xP1)=[1+(-1)2k-1]==0=右边；

⑤研究n=2k-1边形P1P2…P2k-1（k∈N，k≥2），其中P1=P，

有kP1P2-kP2P3+kP3P4-…+（-1）2k-2kP2k-1P1=1，

证明：左边=(xP1+xP2)-(xP2+xP3)+…+(-1)2k-1-1(xP2k-1+xP1)=[1+(-1)2k-1-1]==1=右边；

⑥研究n边形P1P2…Pn（k∈N，k≥3），其中P1=P，

有kP1P2-kP2P3+kP3P4-…+（-1）n-1kPnP1=，

证明：左边=(xP1+xP2)-(xP2+xP3)+…+（-1）n-1(xPn+xP1)=[1+（-1）n-1]==右边．

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题型：填空题

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填空题

有下列结论：①若两条直线平行，则其斜率必相等；

②若两条直线的斜率乘积为-1，则其必互相垂直；

③过点（-1，1），且斜率为2的直线方程是=2；

④同垂直于x轴的两条直线一定都和y轴平行；

⑤若直线的倾斜角为α，则0≤α≤π．

其中正确的结论有 ______（填写序号）．

正确答案

①若两条直线平行，则其斜率必相等或其斜率同时不存在．故①不正确；

②若两条直线的斜率乘积为-1，则其必互相垂直．这是直线垂直的充分不必要条件．故②成立；

③过点（-1，1），且斜率为2的直线方程是y-1=2（x+1），它与x轴有交点，而=2与x轴无交点，故③不正确；

④同垂直于x轴的两条直线一定都和y轴平行或重合，故④不正确；

⑤若直线的倾斜角为α，则0≤α＜π，故⑤不正确．

故答案：②．

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题型：填空题

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填空题

若直线l的倾斜角记为θ，直线l的斜率为a（a＜0），则θ=______（利用a的反三角函数值表示）

正确答案

∵a=tanθ，

∵直线l的斜率为a（a＜0），

∴θ是一个钝角，

∵arctana∈（-，），

∴θ=π+arctana

故答案为：π+arctana

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题型：简答题

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简答题

已知圆C在x轴上的截距为-1和3，在y轴上的一个截距为1．

（1）求圆C的标准方程；

（2）若过点(2 ， -1)的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角．

正确答案

（1）由圆心公式：（x1+x2）=（-1+3）=1

圆心应该在x=1这条直线上．

设：圆心为（1，y），到（-1，0）的距离=到（0，1）的距离：

∴（1+1）2+y2=12+（y-1）2

解得y=-1

∴圆心为（1，-1）

∴r2=（1+1）2+y2=4+1=5

∴圆的方程为：

（x-1）2+（y+1）2=5

（2）当直线斜率不存在时即直线与x轴垂直时，把x=2代入圆方程求得y=1或-3，

∴|AB|=1+3=4符合题意

当直线斜率存在时，设直线方程为y-+1=k（x-2）

由直线l被圆C截得的弦AB的长为4，圆的半径为可求得圆心到直线的距离为=1

∵圆心到直线的距离d==1求得k=

∴倾斜角的正切为，倾斜角为30°

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题型：简答题

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简答题

已知直线l经过点P（-2，5），且斜率为-．

（Ⅰ）求直线l的方程；

（Ⅱ）求与直线l切于点（2，2），圆心在直线x+y-11=0上的圆的方程．

正确答案

（Ⅰ）由直线方程的点斜式，可得方程为y-5=-(x+2)，

化为一般式即得所求直线方程为：3x+4y-14=0．…（4分）

（Ⅱ）过点（2，2）与l垂直的直线方程为4x-3y-2=0，…（6分）

由得圆心为（5，6），…（8分）

∴半径R==5，…（10分）

故所求圆的方程为（x-5）2+（y-6）2=25． …（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知直线l经过点P（-2，5），且斜率为-．

（Ⅰ）求直线l的方程；

（Ⅱ）求与直线l切于点（2，2），圆心在直线x+y-11=0上的圆的方程．

正确答案

（Ⅰ）由直线方程的点斜式，可得方程为y-5=-(x+2)，

化为一般式即得所求直线方程为：3x+4y-14=0．…（4分）

（Ⅱ）过点（2，2）与l垂直的直线方程为4x-3y-2=0，…（6分）

由得圆心为（5，6），…（8分）

∴半径R==5，…（10分）

故所求圆的方程为（x-5）2+（y-6）2=25． …（12分）

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题型：填空题

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填空题

若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为______．

正确答案

∵直线l的参数方程为（t为参数），

∴消去t得y=-x+，即斜率为-，

故答案为-．

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题型：填空题

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填空题

对平面上两点A（-4，1），B（3，-1），直线y=kx+2与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是______．

正确答案

直线y=kx+2过定点O（0，2），则KAO=，KOB=-1，

所以k的取值范围是：（-∞，-1]∪[，+∞）

故答案为：（-∞，-1]∪[，+∞）

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题型：填空题

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填空题

已知过抛物线C：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M恰好为A、F的中点，则直线的斜率k=______．

正确答案

y2=2px的焦点为F（，0），

设A（0，a）（a＞0），所以M（，），

将M（，）的坐标代入y2=2px，得

(

a

2

)2=2p×，即a=p，

所以直线的斜率k==-=-2．

故答案为：-2．

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题型：简答题

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简答题

设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，=2．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．

正确答案

设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＞0，y2＜0．

（1）直线l的方程为y=(x+c)，其中c=．

联立得 (3a2+b2)y2-2b2cy-3b4=0．

解得y1=，y2=．

因为=2，所以-y1=2y2．即-=2 ，

解得离心率e==．（6分）

（2）因为|AB|=•|y2-y1|，∴=•．

由= 得b=a，所以a=，解得a=3，b=．

故椭圆C的方程为+=1．（12分）

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题型：填空题

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填空题

双曲线C：x2-y2=1的渐近线方程为（）；若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且，则直线l的斜率为（）。

正确答案

；±3

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题型：填空题

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填空题

将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是（），若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率为（）。

正确答案

；

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题型：填空题

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填空题

已知直线l的斜率为k，经过点（1，-1），将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m，若直线m不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（）。

正确答案

0≤k≤

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题型：填空题

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填空题

过点（1，）的直线l将圆（x-2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=（）。

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