热门试卷

解：由题意

易求A(-1，0)、B(-2，0).

由

∴C(-3,1).

(1)记P(1,2)，kPC<PA，即∈(,1).

(2)|PC|2=(1+3)2+(2-1)2=17,

|PA|2=(1+1)2+(2-0)2=8,

|PB|2=(1+2)2+(2-0)2=13.

∴(a-1)2+(b-2)2的值域为(8,17).

(3)令u=a+b-3,

即a+b=u+3.-2

即-5

∴a+b-3的值域为(-5,-4).

解法一：如图，（Ⅰ）设D（x0，y0），E（xE，yE），M（x，y）．

由=t，=t，知（xD-2，yD-1）=t（-2，-2）．

∴同理．

∴kDE===1-2t．

∵t∈[0，1]，∴kDE∈[-1，1]．

（Ⅱ）∵=t

∴（x+2t-2，y+2t-1）=t（-2t+2t-2，2t-1+2t-1）=t（-2，4t-2）=（-2t，4t2-2t）．

∴，

∴y=，即x2=4y．

∵t∈[0，1]，x=2（1-2t）∈[-2，2]．

即所求轨迹方程为：x2=4y，x∈[-2，2]

解法二：（Ⅰ）同上．

（Ⅱ）如图，=+=+t=+t（-）=（1-t）+t，

=+=+t=+t（-）=（1-t）+t，

=+=+t=+t（-）=（1-t）+t

=（1-t2）+2（1-t）t+t2．

设M点的坐标为（x，y），由=（2，1），=（0，-1），=（-2，1）得

消去t得x2=4y，

∵t∈[0，1]，x∈[-2，2]．

故所求轨迹方程为：x2=4y，x∈[-2，2]

解：（1）设直线的斜率为k

∵

所以直线BM的斜率为-k

可求得

则直线AM的方程为

代入得

∵

∴

同理

。

（2）若直线的斜率为由（1）可得：

∴

∴

∴

故点N到直线的距离相等。

解：(Ⅰ)设点A（xA，yA），B（xB，yB）(xA≠xB)，直线PA的斜率为k(k≠0)，则直线PB的斜率为-k，

∴PA的直线方程为y-2=k(x-2)，

由消y，得，

因为点P在曲线C上，所以，由韦达定理，得，，

∴，同理，

则。

(Ⅱ)设点M(x，y)，则由y=2x2，得y′=4x，

所以直线M的方程为：y-yA=4xA(x-xA)，①

同理直线MB的方程为：y-yB=4xB(x-xB)，②

由①②，得，③

把③代入①整理，得，

所以，动点M的轨迹方程为x=-1（y＜2）。

(Ⅲ)由已知，，

∴，

则直线A′B的方程为，

即，

令x=0，整理得，

即直线A′B与y轴交点P的纵坐标取值范围是（-∞，2）。

解：设，

直线AB方程为

由，得：y2﹣2pty﹣p2=0，

则

∴．

，

∴

∴不可能为钝角，

故∠ACB不可能是钝角

（2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形

由（1）得：线段AB的中点为

①若直线AB的斜率不存在，这时t=0，，

点C的坐标只可能是，

由，得：，矛盾，

于是直线AB的斜率必存在．

②由CM⊥AB，得：kCMkAB=﹣1，

即，

∴m=pt3+2pt，

∴，|AB|=2p（t2+1），

由，得：，

∴

故存在点，使得△ABC为正三角形．

解：（1）由题知，抛物线的准线方程为y+1=0， =1

所以抛物线C的方程为x2=4y．

（2）设直线AB方y=kx+1交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2），

由抛物线定义知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，

所以|AC|=y1，|BD|=y2，

由 得x2﹣4kx﹣4=0，

显然△＞0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

所以y1y2= =1，

所以|AC||BD|为定值1．

（3）解：由x2=4y，y= x2，y= x，

得直线AM方程y﹣ = x1（x﹣x1）（1），

直线BM方程y﹣ = x2（x﹣x2）（2），

由（2）﹣（1）得 （x1﹣x2）x= ﹣ ，所以x= （x1+x2）=2k，

∴y=﹣1 所以点M坐标为（2k，﹣1），

点M到直线AB距离d= =2 ，

弦AB长为|AB|=  =  =4（1+k2），

△ACM与△BDM面积之和，

S= （|AB|﹣2）d= ×（2+4k2）×2 =2（1+2k2） ，

当k=0时，即AB方程为y=1时，△ACM与△BDM面积之和最小值为2．

（1）解：由题意A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），

所以，

，

因为，所以A1B1与A2B2不平行．

（2）证明：因为{an}，{bn}为等差数列，设它们的公差分别为d1和d2，

则an=a1+（n﹣1）d1，bn=b1+（n﹣1）d2，an+1=a1+nd1，bn+1=b1+nd2由题意

所以[b1+（n﹣1）d2]}=，

所以，

所以Sn+1﹣Sn=d1d2是与n无关的常数，

所以数列{Sn}是等差数列

（3）解：因为An（an，0），Bn（0，bn），

所以=

又数列{kn}前8项依次递减，

所以=＜0，

对1≤n≤7（n∈Z）成立，

即an﹣a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立．

又数列{bn}是递增数列，所以a＞0，故只要n=7时，7a﹣a+b=6a+b＜0即可．

又b1=a+b≥﹣12，联立不等式作出可行域（如下图所示），易得a=1或2，

当a=1时，﹣13≤b＜﹣6即b=﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，有7个解；

当a=2时，﹣14≤b＜﹣12，即b=﹣14，﹣13，有2个解，

所以数列{bn}共有9个．