热门试卷

解：（1）依题意，设椭圆C的方程为

焦距为2c，由题设条件知，

所以

故椭圆C的方程式为。 

（2）椭圆C的左准线方程为，

所以点P的坐标，

显然直线l的斜率k存在，

所以直线l的方程为，

如图，设点M，N的坐标分别为，

线段MN的中点G

由得①

由

解得， ②

因为是方程①的两根，

所以

于是=

因为≤0

所以点G不可能在y轴的右边

直线，方程分别为

所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为

即，

亦即

解得，此时②也成立；

故直线l斜率的取值范围是[，）。 

令直线y=-5x+15中y=0，解得：x=3，

∴直线与x轴的交点为P（3，0），

把已知圆化为标准方程得：（x+2）2+（y+1）2=13，

∴圆心C（-2，-1），半径为r=，…（4分）

显然切线存在斜率，

∴设切线方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，

由圆心到切线的距离等于半径可知：=，

整理得：（5k-1）2=13（1+k2），即（3k+2）（2k-3）=0，

解得：k=-或k=，

由题设逆时针旋转可知应取k=-，…（8分）

∴由到角公式知tanθ==1，

则故旋转角θ的最小值为．…（12分）

解：（1 ）设切点A，

依题意则有解得，

即A点的纵坐标为2；

（2）①依题意可设椭圆的方程为，

直线AB方程为：；

由得，（*）

由（1）可得A，

将A代入（*）可得，

故椭圆的方程可简化为；

联立直线AB与椭圆的方程：，

消去y得：，

则

，

又∵，

∴k∈［-2，-1］；

即；

②由可知上为单调递增函数，

故当k=-1时，取到最大值，此时p＝4，

故椭圆的方程为。

解：（1）依题意，设椭圆C的方程为

焦距为2c，由题设条件知，

所以

故椭圆C的方程式为。 

（2）椭圆C的左准线方程为，

所以点P的坐标，

显然直线l的斜率k存在，

所以直线l的方程为，

如图，设点M，N的坐标分别为，

线段MN的中点G

由得①

由

解得， ②

因为是方程①的两根，

所以

于是=

因为≤0

所以点G不可能在y轴的右边

直线，方程分别为

所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为

，

即，

亦即

解得，此时②也成立；

故直线l斜率的取值范围是[，）。 

解：（Ⅰ）设椭圆（a＞b＞0）上两点A（x1，y1），B（x2，y2），

线段AB的中点为M（x，y），则，

且，

于是

由kOA·kOB=，即

由①②得，

则点M的轨迹方程为；

（Ⅱ）由已知

（1）当AB⊥x轴，即x1=x2时，由③④得y1=-y2，再由⑤得，

∴，

此时，即，

直线AB的方程为；

（2）当AB不垂直于x轴，即x1≠x2时，由③④得，，

即

由⑥得直线AB的斜率，

∴直线AB的方程为

由⑦变形得，

并结合①⑤得

而x1+x2=2x0，y1+y2=2y0， ⑨

由⑧⑨得，

又情形（1）也符合，

故所求直线AB的方程为。

解：（1）设l：x-1=ny，A（x1，y1），B（x2，y2）

得y2-4ny-4=0，

y1+y2=4n，y1y2=-4

，

∴∠ANM=∠BNM。

（2）设点A（x，y），则以AM为直径的圆的圆心为，

假设满足条件的直线l存在，直线l'被圆O'截得的弦为EF，

则

=x2-2ax+a2+4x-4m2+4m（x+a）-x2-2ax-a2=（4m-4a+4）x+4ma-4m2弦长|EF|为定值，则4m-4a+4=0，即m=a-1，

此时|EF|2=4m（a-m）=4（a-1），

所以当a>1时，存在直线l：x=a-1，截得的弦长为

当0＜a≤1时，不存在满足条件的直线l'。

解：（1）设，则，，

∵，

∴，

∴。

（2）设PE的斜率为，PR的斜率为，

则PE：，

PR：，

令，，，

∴，

由PF和圆相切，得，

由PR和圆相切，得，

故为的两解，

故有，

∴，，

∴，

又∵，

∴，

即，

设，则，

故，

∴，，

∴，

∴MN长度的取值范围是（，4）。

证明：因为抛物线的焦点为，

所以经过点F的直线AB的方程可设为，

代入抛物线方程得，

若记，则是该方程的两个根，

所以，

因为BC∥x轴，且点C在准线上，

所以点C的坐标为，

故直线CO的斜率为，

即k也是直线OA的斜率，

所以直线AC经过原点O。

解：（1）M(-2，0)，N(0，)，M、N的中点坐标为(-1，)，

所以；

（2）由，得，，

AC方程：，

即：，

所以点P到直线AB的距离；

（3）由题意设，则，

∵A、C、B三点共线，

∴，

又因为点P、B在椭圆上，

∴，两式相减得：，

∴，

∴PA⊥PB。

解：（1）k=1或-1；

（2）=1。

解：（1）kAB==1，

∴AB：y-3=x-1，即x-y+2=0，其倾斜角为45°。

（2）以线段AB为直径的圆面积最小，

所以，所求圆的方程为：x2+y2-5x-9y+22=0。

解：（1）直线l的方程可化为

直线l的斜率，

因为

所以，

当且仅当|m|=1时等号成立，

所以，斜率k的取值范围是。

（2）不能，

由（1）知l的方程为y=k（x-4），其中

圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2

圆心C到直线l的距离

由，得，

即

从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于

所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧。